En matemáticas , la identidad de ocho cuadrados de Degen establece que el producto de dos números, cada uno de los cuales es una suma de ocho cuadrados, es en sí mismo la suma de ocho cuadrados. Es decir:![{\displaystyle {\begin{aligned}&\left(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+a_{4}^{2}+a_{5}^{2}+a_{6}^{2}+a_{7}^{2}+a_{8}^{2}\right)\left(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}+b_{4}^{2}+b_{5}^{2}+b_{6}^{2}+b_{7}^{2}+b_{8}^{2}\right)=\\[1ex]&\quad \izquierda(a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}-a_{3}b_{3}-a_{4}b_{4}-a_{5}b_{5}-a_{6}b_{6}-a_{7}b_{7}-a_{8}b_{8}\derecha)^{2}+\\&\cuadrado \izquierda(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}+a_{3}b_{4}-a_{4}b_{3}+a_{5}b_{6}-a_{6}b_{5}-a_{7}b_{8}+a_{8}b_{7}\derecha)^{2}+\\&\cuadrado \izquierda(a_{1}b_{3}-a_{2}b_{4}+a_{3}b_{1}+a_{4}b_{2}+a_{5}b_{7}+a_{6}b_{8}-a_{7}b_{5}-a_{8}b_{6}\derecha)^{2}+\\&\cuadrado \izquierda(a_{1}b_{4}+a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}+a_{4}b_{1}+a_{5}b_{8}-a_{6}b_{7}+a_{7}b_{6}-a_{8}b_{5}\derecha)^{2}+\\&\cuadrado \izquierda(a_{1}b_{5}-a_{2}b_{6}-a_{3}b_{7}-a_{4}b_{8}+a_{5}b_{1}+a_{6}b_{2}+a_{7}b_{3}+a_{8}b_{4}\derecha)^{2}+\\&\cuadrado \izquierda(a_{1}b_{6}+a_{2}b_{5}-a_{3}b_{8}+a_{4}b_{7}-a_{5}b_{2}+a_{6}b_{1}-a_{7}b_{4}+a_{8}b_{3}\derecha)^{2}+\\&\cuadrado \left(a_{1}b_{7}+a_{2}b_{8}+a_{3}b_{5}-a_{4}b_{6}-a_{5}b_{3}+a_{6}b_{4}+a_{7}b_{1}-a_{8}b_{2}\right)^{2}+\\&\quad \left(a_{1}b_{8}-a_{2}b_{7}+a_{3}b_{6}+a_{4}b_{5}-a_{5}b_{4}-a_{6}b_{3}+a_{7}b_{2}+a_{8}b_{1}\right)^{2}\end{alineado}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Descubierta por primera vez por Carl Ferdinand Degen alrededor de 1818, la identidad fue redescubierta independientemente por John Thomas Graves (1843) y Arthur Cayley (1845). Los dos últimos la derivaron mientras trabajaban en una extensión de cuaterniones llamados octoniones . En términos algebraicos, la identidad significa que la norma del producto de dos octoniones es igual al producto de sus normas: . Afirmaciones similares son verdaderas para los cuaterniones ( identidad de cuatro cuadrados de Euler ), los números complejos (la identidad de dos cuadrados de Brahmagupta-Fibonacci ) y los números reales. En 1898, Adolf Hurwitz demostró que no existe una identidad bilineal similar para 16 cuadrados ( sedenions ) o cualquier otro número de cuadrados excepto 1, 2, 4 y 8. Sin embargo, en la década de 1960, H. Zassenhaus, W. Eichhorn y A. Pfister (independientemente) demostraron que puede haber una identidad no bilineal para 16 cuadrados .
Nótese que cada cuadrante se reduce a una versión de la identidad de cuatro cuadrados de Euler :
y lo mismo para los otros tres cuadrantes.
Comentario: La demostración de la identidad de ocho cuadrados se realiza mediante evaluación algebraica. La identidad de ocho cuadrados se puede escribir en forma de un producto de dos productos internos de vectores de ocho dimensiones, lo que da como resultado nuevamente un producto interno de vectores de ocho dimensiones: ( a · a )( b · b ) = ( a × b )·( a × b ) . Esto define la regla de multiplicación de octoniones a × b , que refleja la identidad de ocho cuadrados de Degen y las matemáticas de los octoniones.
Por el teorema de Pfister , se puede dar un tipo diferente de identidad de ocho cuadrados donde las , presentadas a continuación, son funciones no bilineales y meramente racionales de las . Por lo tanto,
dónde,
y,
con,
Por cierto, obedecen a la identidad,
Véase también
Enlaces externos
- La identidad de ocho cuadrados de Degen en MathWorld
- La identidad de ocho cuadrados de Degen-Graves-Cayley
- La identidad de 16 cuadrados de Pfister Archivado el 17 de septiembre de 2016 en Wayback Machine.
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\left(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+a_{4}^{2}+a_{5}^{2}+a_{6}^{2}+a_{7}^{2}+a_{8}^{2}\right)\left(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}+b_{4}^{2}+b_{5}^{2}+b_{6}^{2}+b_{7}^{2}+b_{8}^{2}\right)=\\[1ex]&\quad \izquierda(a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}-a_{3}b_{3}-a_{4}b_{4}-a_{5}b_{5}-a_{6}b_{6}-a_{7}b_{7}-a_{8}b_{8}\derecha)^{2}+\\&\cuadrado \izquierda(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}+a_{3}b_{4}-a_{4}b_{3}+a_{5}b_{6}-a_{6}b_{5}-a_{7}b_{8}+a_{8}b_{7}\derecha)^{2}+\\&\cuadrado \izquierda(a_{1}b_{3}-a_{2}b_{4}+a_{3}b_{1}+a_{4}b_{2}+a_{5}b_{7}+a_{6}b_{8}-a_{7}b_{5}-a_{8}b_{6}\derecha)^{2}+\\&\cuadrado \izquierda(a_{1}b_{4}+a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}+a_{4}b_{1}+a_{5}b_{8}-a_{6}b_{7}+a_{7}b_{6}-a_{8}b_{5}\derecha)^{2}+\\&\cuadrado \izquierda(a_{1}b_{5}-a_{2}b_{6}-a_{3}b_{7}-a_{4}b_{8}+a_{5}b_{1}+a_{6}b_{2}+a_{7}b_{3}+a_{8}b_{4}\derecha)^{2}+\\&\cuadrado \izquierda(a_{1}b_{6}+a_{2}b_{5}-a_{3}b_{8}+a_{4}b_{7}-a_{5}b_{2}+a_{6}b_{1}-a_{7}b_{4}+a_{8}b_{3}\derecha)^{2}+\\&\cuadrado \left(a_{1}b_{7}+a_{2}b_{8}+a_{3}b_{5}-a_{4}b_{6}-a_{5}b_{3}+a_{6}b_{4}+a_{7}b_{1}-a_{8}b_{2}\right)^{2}+\\&\quad \left(a_{1}b_{8}-a_{2}b_{7}+a_{3}b_{6}+a_{4}b_{5}-a_{5}b_{4}-a_{6}b_{3}+a_{7}b_{2}+a_{8}b_{1}\right)^{2}\end{alineado}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/311f4779f3503a5582eaaa161c24a759a51f166b)
