En álgebra , la identidad de Brahmagupta dice que, para un número dado , el producto de dos números de la forma es en sí mismo un número de esa forma. En otras palabras, el conjunto de dichos números es cerrado respecto de la multiplicación. En concreto:
Tanto (1) como (2) se pueden verificar desarrollando cada lado de la ecuación. Además, (2) se puede obtener a partir de (1), o (1) a partir de (2), cambiando b por − b .
Esta identidad se cumple tanto en el anillo de los números enteros como en el anillo de los números racionales y, más generalmente, en cualquier anillo conmutativo .
La identidad es una generalización de la llamada identidad de Fibonacci (donde n = 1) que en realidad se encuentra en la Arithmetica de Diofanto (III, 19). Esa identidad fue redescubierta por Brahmagupta (598-668), un matemático y astrónomo indio , quien la generalizó y la utilizó en su estudio de lo que ahora se llama ecuación de Pell . Su Brahmasphutasiddhanta fue traducida del sánscrito al árabe por Mohammad al-Fazari , y posteriormente fue traducida al latín en 1126. [1] La identidad apareció más tarde en el Libro de los cuadrados de Fibonacci en 1225.
En su contexto original, Brahmagupta aplicó su descubrimiento a la solución de lo que más tarde se llamó la ecuación de Pell , es decir, x 2 − Ny 2 = 1. Usando la identidad en la forma
Fue capaz de "componer" triples ( x 1 , y 1 , k 1 ) y ( x 2 , y 2 , k 2 ) que eran soluciones de x 2 − Ny 2 = k , para generar la nueva triple
Esto no sólo permitió generar infinitas soluciones para x 2 − Ny 2 = 1 a partir de una solución, sino que, además, al dividir dicha composición por k 1 k 2 , se podían obtener a menudo soluciones enteras o "casi enteras". El método general para resolver la ecuación de Pell propuesto por Bhaskara II en 1150, es decir, el método chakravala (cíclico) , también se basaba en esta identidad. [2]
