En geometría de seis dimensiones , un 6-politopo uniforme es un politopo uniforme de seis dimensiones . Un polipetón uniforme es transitivo por vértices y todas las facetas son 5-politopos uniformes .
No se ha determinado el conjunto completo de 6-politopos convexos uniformes , pero la mayoría se pueden realizar como construcciones de Wythoff a partir de un pequeño conjunto de grupos de simetría . Estas operaciones de construcción se representan mediante las permutaciones de anillos de los diagramas de Coxeter-Dynkin . Cada combinación de al menos un anillo en cada grupo conectado de nodos en el diagrama produce un 6-politopo uniforme.
Las polipetas uniformes más simples son los politopos regulares : el 6-símplex {3,3,3,3,3}, el 6-cubo (hexeracto) {4,3,3,3,3} y el 6-ortoplex (hexacromático) {3,3,3,3,4}.
Se pueden generar 6-politopos uniformes con simetría reflexiva mediante estos cuatro grupos de Coxeter, representados por permutaciones de anillos de los diagramas de Coxeter-Dynkin .
Hay cuatro grupos de simetría reflexiva fundamentales que generan 153 6-politopos uniformes únicos.
Prisma uniforme
Hay 6 prismas uniformes categóricos basados en los 5-politopos uniformes .
Duoprisma uniforme
Existen 11 familias categóricas uniformes duoprismáticas de politopos basadas en productos cartesianos de politopos uniformes de menor dimensión. Cinco se forman como el producto de un 4-politopo uniforme con un polígono regular y seis se forman mediante el producto de dos poliedros uniformes :
Triaprisma uniforme
Existe una familia infinita de familias de politopos triaprismáticos uniformes construidas como productos cartesianos de tres polígonos regulares. Cada combinación de al menos un anillo en cada grupo conexo produce un 6-politopo prismático uniforme.
; también como h{4,3 3 },
, una forma de media simetría de.
Estas familias fundamentales generan 153 polipetas uniformes convexas no prismáticas.
Además, hay 57 construcciones uniformes de 6 politopos basadas en prismas de los 5-politopos uniformes : [3,3,3,3,2], [4,3,3,3,2], [3 2,1,1 ,2], excluyendo el prisma penteracto como duplicado del hexeracto.
Además, existen infinitos politopos 6 uniformes basados en:
Existen 32+4−1=35 formas, derivadas de marcar uno o más nodos del diagrama de Coxeter-Dynkin . Las 35 se enumeran a continuación. Norman Johnson las nombró a partir de las operaciones de construcción de Wythoff sobre el 6-símplex regular (heptapetón). Los nombres de las siglas de estilo Bowers se dan entre paréntesis para referencias cruzadas.
La familia A6 tiene simetría de orden 5040 ( factorial 7 ).
Las coordenadas de 6-politopos uniformes con simetría 6-símplex se pueden generar como permutaciones de números enteros simples en el espacio 7, todos en hiperplanos con vector normal (1,1,1,1,1,1,1).
Hay 63 formas basadas en todas las permutaciones de los diagramas de Coxeter-Dynkin con uno o más anillos.
La familia B 6 tiene simetría de orden 46080 (6 factorial x 2 6 ).
Norman Johnson les dio el nombre a partir de las operaciones de construcción de Wythoff sobre el cubo 6 y el ortoplex 6 habituales. Se dan los nombres de Bowers y los acrónimos para referencias cruzadas.
La familia D 6 tiene simetría de orden 23040 (6 factorial x 2 5 ).
Esta familia tiene 3×16−1=47 politopos uniformes Wythoffianos, generados al marcar uno o más nodos del diagrama de Coxeter-Dynkin D 6 . De estos, 31 (2×16−1) se repiten de la familia B 6 y 16 son exclusivos de esta familia. Las 16 formas exclusivas se enumeran a continuación. Se proporcionan nombres de acrónimos de estilo Bowers para referencias cruzadas.
Existen 39 formas basadas en todas las permutaciones de los diagramas de Coxeter-Dynkin con uno o más anillos. Se proporcionan acrónimos al estilo Bowers para referencias cruzadas. La familia E 6 tiene una simetría de orden 51.840.
Los triaprismas uniformes , { p }×{ q }×{ r }, forman una clase infinita para todos los números enteros p , q , r >2. {4}×{4}×{4} forma una forma de simetría inferior del 6-cubo .
El vector f extendido es ( p , p , 1 )*( q , q , 1 )*( r , r , 1 )=( pqr ,3 pqr ,3 pqr + pq + pr + qr ,3 p ( p +1),3 p , 1 ).
En 6 dimensiones y más, hay una cantidad infinita de politopos convexos uniformes no Wythoffianos : el producto cartesiano del gran antiprisma en 4 dimensiones y cualquier polígono regular en 2 dimensiones. Aún no se ha demostrado si hay más o no.
Hay cuatro grupos de Coxeter afines fundamentales y 27 grupos prismáticos que generan teselaciones regulares y uniformes en el espacio 5:
Los panales regulares y uniformes incluyen:
=
==
=Los otros dos nuevos son=,=.No existen grupos hiperbólicos compactos de Coxeter de rango 6, grupos que puedan generar panales con todas las facetas finitas y una figura de vértice finita . Sin embargo, existen 12 grupos hiperbólicos paracompactos de Coxeter de rango 6, cada uno de los cuales genera panales uniformes en el espacio 5 como permutaciones de anillos de los diagramas de Coxeter.
La construcción de los politopos uniformes hexadimensionales reflectantes se realiza mediante un proceso de construcción de Wythoff y se representa mediante un diagrama de Coxeter-Dynkin , donde cada nodo representa un espejo. Los nodos están anillados para indicar qué espejos están activos. El conjunto completo de politopos uniformes generados se basa en las permutaciones únicas de los nodos anillados. Los politopos uniformes hexadimensionales se nombran en relación con los politopos regulares de cada familia. Algunas familias tienen dos constructores regulares y, por lo tanto, pueden tener dos formas de nombrarlos.
Aquí están los operadores principales disponibles para construir y nombrar los 6-politopos uniformes.
Las formas prismáticas y los gráficos bifurcados pueden utilizar la misma notación de indexación de truncamiento, pero requieren un sistema de numeración explícito en los nodos para mayor claridad.
