Coordenadas de Schwarzschild

En la teoría de las variedades lorentzianas , los espaciotiempos esféricamente simétricos admiten una familia de esferas redondas anidadas . En un espacio-tiempo así, un tipo de mapa de coordenadas especialmente importante es el mapa de Schwarzschild , una especie de mapa de coordenadas esféricas polares en un espacio-tiempo estático y esféricamente simétrico , que está adaptado a estas esferas redondas anidadas. La característica definitoria de la carta de Schwarzschild es que la coordenada radial posee una interpretación geométrica natural en términos del área de superficie y la curvatura gaussiana de cada esfera. Sin embargo, las distancias radiales y los ángulos no se representan con precisión.

Estos gráficos tienen muchas aplicaciones en las teorías métricas de la gravitación, como la relatividad general . Se utilizan con mayor frecuencia en espacio-tiempos estáticos esféricamente simétricos. En el caso de la relatividad general , el teorema de Birkhoff establece que cada solución aislada de vacío o electrovacío esféricamente simétrica de la ecuación de campo de Einstein es estática, pero esto ciertamente no es cierto para los fluidos perfectos . La extensión de la región exterior de la solución de vacío de Schwarzschild dentro del horizonte de sucesos de un agujero negro esféricamente simétrico no es estática dentro del horizonte, y la familia de esferas anidadas (de apariencia espacial) no se puede extender dentro del horizonte, por lo que el diagrama de Schwarzschild para esto La solución necesariamente se desmorona en el horizonte.

Definición

Especificar un tensor métrico es parte de la definición de cualquier variedad de Lorentz . La forma más sencilla de definir este tensor es definirlo en gráficos de coordenadas locales compatibles y verificar que el mismo tensor esté definido en las superposiciones de los dominios de los gráficos. En este artículo, sólo intentaremos definir el tensor métrico en el dominio de un único gráfico. ${\displaystyle g}$

En un gráfico de Schwarzschild (en un espacio-tiempo estático esféricamente simétrico), el elemento de línea toma la forma

${\displaystyle g=-a(r)^{2}\,dt^{2}+b(r)^{2}\,dr^{2}+r^{2}\left(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}\right)=-a(r)^{2}\,dt^{2}+b(r)^{2}\,dr^{2}+r^{2}g_{\Omega }}$

${\displaystyle -\infty <t<\infty ,\,r_{0}<r<r_{1},\,0<\theta <\pi ,\,-\pi <\phi <\pi }$

¿Dónde está la coordenada esférica estándar y es la métrica estándar en la unidad de 2 esferas? Consulte Derivación de la solución de Schwarzschild para obtener una derivación más detallada de esta expresión. ${\displaystyle \Omega =(\theta ,\phi )}$ ${\displaystyle g_{\Omega }}$

Dependiendo del contexto, puede ser apropiado considerar a y b como funciones indeterminadas de la coordenada radial (por ejemplo, al derivar una solución estática y esféricamente simétrica exacta de la ecuación de campo de Einstein ). Alternativamente, podemos conectar funciones específicas (posiblemente dependiendo de algunos parámetros) para obtener un gráfico de coordenadas de Schwarzschild en un espacio-tiempo lorentziano específico.

Si esto admite un tensor tensión-energía tal que el modelo resultante satisfaga la ecuación de campo de Einstein (digamos, para un fluido estático esféricamente simétrico perfecto que obedece a condiciones energéticas adecuadas y otras propiedades esperadas de un fluido perfecto razonable), entonces, con el tensor apropiado campos que representan cantidades físicas como materia y densidades de impulso, tenemos una parte de un espacio-tiempo posiblemente mayor; una pieza que puede considerarse una solución local de la ecuación de campo de Einstein.

Matar campos vectoriales

Con respecto al gráfico de Schwarzschild, el álgebra de Lie de los campos vectoriales Killing se genera mediante el campo vectorial Killing irrotacional temporal.

${\displaystyle \partial _{t}}$^{[Nota 1]}

y tres campos vectoriales Killing espaciales

${\displaystyle \partial _{\phi }}$

${\displaystyle \sin \phi \,\partial _{\theta }+\cot \theta \,\cos \phi \,\partial _{\phi }}$

${\displaystyle \cos \phi \,\partial _{\theta }-\cot \theta \,\sin \phi \,\partial _{\phi }}$

Aquí, decir que es irrotacional significa que el tensor de vorticidad de la congruencia temporal correspondiente desaparece; por lo tanto, este campo vectorial Killing es ortogonal de hipersuperficie . El hecho de que nuestro espacio-tiempo admita un campo vectorial de muerte irrotacional similar al tiempo es, de hecho, la característica definitoria de un espacio-tiempo estático . Una consecuencia inmediata es que las superficies de coordenadas de tiempo constante forman una familia de hipercortes espaciales (isométricos) . (Esto no es cierto, por ejemplo, en el gráfico de Boyer-Lindquist para la región exterior del vacío de Kerr , donde el vector de coordenadas temporales no es ortogonal a la hipersuperficie). ${\displaystyle {\vec {X}}=\partial _{t}}$ ${\displaystyle t=t_{0}}$

Tenga en cuenta que los dos últimos campos son rotaciones entre sí, bajo la transformación de coordenadas . El artículo sobre Matar campos vectoriales proporciona una derivación detallada y una discusión de los tres campos espaciales. ${\displaystyle \phi \mapsto \phi +\pi /2}$

Una familia de esferas anidadas estáticas.

En la carta de Schwarzschild, las superficies aparecen como esferas redondas (cuando trazamos los lugares geométricos en forma esférica polar) y, por su forma, vemos que la métrica de Schwarzschild restringida a cualquiera de estas superficies es positiva definida y está dada por ${\displaystyle t=t_{0},\,r=r_{0}}$

${\displaystyle g|_{t=t_{0},r=r_{0}}=r_{0}^{2}g_{\Omega }=r_{0}^{2}\left(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}\right),\;0<\theta <\pi ,\;-\pi <\phi <\pi }$

¿Dónde está la métrica de Riemann estándar en la unidad de radio de 2 esferas? Es decir, estas esferas de coordenadas anidadas de hecho representan esferas geométricas con ${\displaystyle g_{\Omega }}$

1. área de superficie ${\displaystyle A=4\pi r_{0}^{2}}$
2. curvatura gaussiana ${\displaystyle K=1/r_{0}^{2}}$

En particular, son esferas redondas geométricas . Además, las coordenadas angulares son exactamente las coordenadas angulares esféricas polares habituales: a veces se le llama colatitud y generalmente se le llama longitud . Esta es esencialmente la característica geométrica que define la carta de Schwarzschild. ${\displaystyle \Omega =(\theta ,\phi )}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \phi }$

Puede ser útil agregar que los cuatro campos Killing dados anteriormente, considerados como campos vectoriales abstractos en nuestra variedad Lorentziana, dan la expresión más verdadera de las simetrías de un espacio-tiempo estático esféricamente simétrico, mientras que la forma trigonométrica particular que toman en nuestra carta es la expresión más fiel del significado del término carta de Schwarzschild . En particular, los tres campos vectoriales Killing espaciales tienen exactamente la misma forma que los tres campos vectoriales Killing no traslacionales en un gráfico esféricamente simétrico en E ³ ; es decir, exhiben la noción de rotación euclidiana arbitraria sobre el origen o simetría esférica.

Sin embargo, tenga en cuenta: en general, la coordenada radial de Schwarzschild no representa con precisión distancias radiales , es decir, distancias tomadas a lo largo de la congruencia geodésica espacial que surgen como las curvas integrales de . Más bien, para encontrar una noción adecuada de " distancia espacial " entre dos de nuestras esferas anidadas, deberíamos integrar a lo largo de algún rayo de coordenadas desde el origen: ${\displaystyle \partial _{r}}$ ${\displaystyle b(r)dr}$

${\displaystyle \Delta \rho =\int _{r_{1}}^{r_{2}}b(r)dr}$

De manera similar, podemos considerar cada esfera como el lugar de una nube esférica de observadores idealizados, que deben (en general) utilizar motores de cohetes para acelerar radialmente hacia afuera a fin de mantener su posición. Estos son observadores estáticos y tienen líneas de forma mundial , que por supuesto tienen la forma de líneas de coordenadas verticales en la carta de Schwarzschild. ${\displaystyle r=r_{0},\theta =\theta _{0},\phi =\phi _{0}}$

Para calcular el intervalo de tiempo adecuado entre dos eventos en la línea mundial de uno de estos observadores, debemos integrar a lo largo de la línea de coordenadas apropiada: ${\displaystyle a(r)dt}$

${\displaystyle \Delta \tau =\int _{t_{1}}^{t_{2}}a(r)dt}$

Coordinar singularidades

Volviendo a observar los rangos de coordenadas anteriores, observe que la singularidad de coordenadas en marca la ubicación del polo norte de una de nuestras esferas anidadas estáticas, mientras que marca la ubicación del polo sur . Al igual que en el caso de una carta esférica polar ordinaria en E ³ , por razones topológicas no podemos obtener coordenadas continuas en toda la esfera; debemos elegir alguna longitud (un círculo máximo) para que actúe como meridiano principal y eliminarla de la carta. El resultado es que recortamos un semiplano cerrado de cada hipercorte espacial, incluido el eje , y un semiplano que se extiende desde ese eje. ${\displaystyle t=t_{0},\,r=r_{0},\,\theta =0}$ ${\displaystyle t=t_{0},\,r=r_{0},\,\theta =\pi }$ ${\displaystyle \phi =0}$ ${\displaystyle t=t_{0}}$ ${\displaystyle r=0}$

Cuando dijimos anteriormente que es un campo vectorial Killing, omitimos el pedante pero importante calificativo de que estamos pensando en una coordenada cíclica y, de hecho, pensamos que nuestros tres vectores Killing espaciales actúan sobre esferas redondas. ${\displaystyle \partial _{\phi }}$ ${\displaystyle \phi }$

Posiblemente, por supuesto, o , en cuyo caso también debemos eliminar la región fuera de alguna bola, o dentro de alguna bola, del dominio de nuestra carta. Esto sucede siempre que f o g explotan en algún valor de la coordenada radial r de Schwarzschild. ${\displaystyle r_{1}>0}$ ${\displaystyle r_{2}<\infty }$

Visualizando los hiperslices estáticos

Para comprender mejor el significado de la coordenada radial de Schwarzschild, puede resultar útil incrustar uno de los hipercortes espaciales (por supuesto, todos son isométricos entre sí) en un espacio euclidiano plano. Las personas a las que les resulta difícil visualizar el espacio euclidiano de cuatro dimensiones se alegrarán de observar que podemos aprovechar la simetría esférica para suprimir una coordenada . Esto se puede lograr convenientemente configurando . Ahora tenemos una variedad de Riemann bidimensional con un gráfico de coordenadas radiales local, ${\displaystyle t=t_{0}}$ ${\displaystyle t=0,\theta =\pi /2}$

${\displaystyle g|_{t=0,\theta =\pi /2}=b(r)^{2}dr^{2}+r^{2}d\phi ^{2},\;\;r_{1}<r<r_{2},\,-\pi <\phi <\pi }$

Para incrustar esta superficie (o en un anillo anular ) en E 3 , adoptamos un campo de marco en E ³ que

1. se define en una superficie parametrizada, que heredará la métrica deseada del espacio de incrustación,
2. está adaptado a nuestra carta radial,
3. presenta una función indeterminada . ${\displaystyle f(r)}$

A saber, considere la superficie parametrizada

${\displaystyle (z,r,\phi )\rightarrow (f(r),\,r\cos \phi ,\,r\sin \phi )}$

Los campos vectoriales de coordenadas en esta superficie son

${\displaystyle \partial _{r}=(f^{\prime }(r),\,\cos \phi ,\,\sin \phi ),\;\;\partial _{\phi }=(0,-r\sin \phi ,r\cos \phi )}$

La métrica inducida heredada cuando restringimos la métrica euclidiana en E ³ a nuestra superficie parametrizada es

${\displaystyle d\rho ^{2}=\left(1+f^{\prime }(r)^{2}\right)\,dr^{2}+r^{2}\,d\phi ^{2},\;r_{1}<r<r_{2},\,-\pi <\phi <\pi }$

Para identificar esto con la métrica de nuestro hiperslice, evidentemente deberíamos elegir tal que ${\displaystyle f(r)}$

${\displaystyle f^{\prime }(r)={\sqrt {1-b(r)^{2}}}}$

Para tomar un ejemplo un tanto tonto, podríamos tener . ${\displaystyle b(r)=f(r)=\sin(r)}$

Esto funciona para superficies en las que las distancias reales entre dos puntos separados radialmente son mayores que la diferencia entre sus coordenadas radiales. Si las distancias verdaderas son menores , deberíamos incrustar nuestra variedad de Riemann como una superficie espacial en E ^1,2 . Por ejemplo, podríamos tener . A veces es posible que necesitemos dos o más incrustaciones locales de anillos anulares (para regiones de curvatura gaussiana positiva o negativa). En general, no deberíamos esperar obtener una incrustación global en ningún espacio plano (con tensor de Riemann desvanecido). ${\displaystyle b(r)=f(r)=\sinh(r)}$

La cuestión es que la característica definitoria de una carta de Schwarzschild en términos de la interpretación geométrica de la coordenada radial es justo lo que necesitamos para llevar a cabo (en principio) este tipo de incrustación esféricamente simétrica de los hipercortes espaciales.

Un Ansatz métrico

El elemento lineal dado anteriormente, con f , g considerados como funciones indeterminadas de la coordenada radial de Schwarzschild r , se usa a menudo como un ansatz métrico para derivar soluciones estáticas esféricamente simétricas en la relatividad general (u otras teorías métricas de la gravitación ).

A modo de ilustración, indicaremos cómo calcular la conexión y la curvatura utilizando el método de cálculo exterior de Cartan . Primero, leemos del elemento de línea un campo coframe ,

${\displaystyle \sigma ^{0}=-a(r)\,dt}$

${\displaystyle \sigma ^{1}=b(r)\,dr}$

${\displaystyle \sigma ^{2}=rd\theta \,}$

${\displaystyle \sigma ^{3}=r\sin \theta \,d\phi }$

donde consideramos son funciones fluidas aún indeterminadas de . (El hecho de que nuestro espacio-tiempo admita un marco que tenga esta forma trigonométrica particular es otra expresión equivalente de la noción de una carta de Schwarzschild en una variedad Lorentziana estática y esféricamente simétrica). ${\displaystyle a\,b}$ ${\displaystyle r}$

En segundo lugar, calculamos las derivadas exteriores de estas formas unicobasis:

${\displaystyle d\sigma ^{0}=-a'(r)\,dr\wedge dt={\frac {a'(r)}{b(r)}}\,dt\wedge \sigma ^{1}}$

${\displaystyle d\sigma ^{1}=0\,}$

${\displaystyle d\sigma ^{2}=dr\wedge d\theta }$

${\displaystyle d\sigma ^{3}=\sin \theta \,dr\wedge d\phi +r\,\cos \theta \,d\theta \wedge d\phi =-\left({\frac {\sin \theta \,d\phi }{b(r)}}\wedge \sigma ^{1}+\cos \theta \,d\phi \wedge \sigma ^{2}\right)}$

Comparando con la primera ecuación estructural de Cartan (o más bien su condición de integrabilidad),

${\displaystyle d\sigma ^{\hat {m}}=-{\omega ^{\hat {m}}}_{\hat {n}}\,\wedge \sigma ^{\hat {n}}}$

adivinamos expresiones para la conexión de formas únicas . (Los sombreros son solo un recurso de notación para recordarnos que los índices se refieren a nuestras formas uni cobasis, no a las formas uni coordinadas ). ${\displaystyle dt,\,dr,\,d\theta ,d\phi }$

Si recordamos qué pares de índices son simétricos (espacio-tiempo) y cuáles son antisimétricos (espacio-espacio) en , podemos confirmar que las seis formas uniformes de conexión son ${\displaystyle {\omega ^{\hat {m}}}_{\hat {n}}}$

${\displaystyle {\omega ^{0}}_{1}={\frac {a'}{b}}(r)\,dt}$

${\displaystyle {\omega ^{0}}_{2}=0}$

${\displaystyle {\omega ^{0}}_{3}=0}$

${\displaystyle {\omega ^{1}}_{2}=-{\frac {d\theta }{b(r)}}}$

${\displaystyle {\omega ^{1}}_{3}=-{\frac {\sin \theta \,d\phi }{b(r)}}}$

${\displaystyle {\omega ^{2}}_{3}=-\cos \theta \,d\phi }$

(En este ejemplo, sólo cuatro de los seis no desaparecen). Podemos recopilar estas formas uniformes en una matriz de formas uniformes, o incluso mejor en una forma univalente con valor SO(1,3). Tenga en cuenta que la matriz resultante de formas únicas no será del todo antisimétrica como para una forma única con valor SO(4); en su lugar, necesitamos utilizar una noción de transpuesta que surge del adjunto lorentziano.

En tercer lugar, calculamos las derivadas exteriores de las formas uniformes de conexión y utilizamos la segunda ecuación estructural de Cartan.

${\displaystyle {\Omega ^{\hat {m}}}_{\hat {n}}=d{\omega ^{\hat {m}}}_{\hat {n}}-{\omega ^{\hat {m}}}_{\hat {\ell }}\wedge {\omega ^{\hat {\ell }}}_{\hat {n}}}$

para calcular la curvatura de dos formas. Cuarto, usando la fórmula

${\displaystyle {\Omega ^{\hat {m}}}_{\hat {n}}={R^{\hat {m}}}_{{\hat {n}}|{\hat {\imath }}{\hat {\jmath }}|}\,\sigma ^{\hat {\imath }}\wedge \sigma ^{\hat {\jmath }}}$

donde las barras de Bach indican que debemos sumar solo los seis pares crecientes de índices ( i , j ), podemos leer los componentes linealmente independientes del tensor de Riemann con respecto a nuestro cocuadro y su campo de marco dual . Obtenemos:

${\displaystyle {R^{0}}_{101}={\frac {-a''\,b+a'\,b'}{a\,b^{3}}}(r)}$

${\displaystyle {R^{0}}_{202}={\frac {1}{r}}{\frac {-a'}{a\,b^{2}}}(r)={R^{0}}_{303}}$

${\displaystyle {R^{1}}_{212}={\frac {1}{r}}{\frac {b'}{b^{3}}}(r)={R^{1}}_{313}}$

${\displaystyle {R^{2}}_{323}={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {b^{2}-1}{b^{2}}}(r)}$

Quinto, podemos reducir los índices y organizar los componentes en una matriz. ${\displaystyle R_{{\hat {m}}{\hat {n}}{\hat {i}}{\hat {j}}}}$

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}R_{0101}&R_{0102}&R_{0103}&R_{0123}&R_{0131}&R_{0112}\\R_{0201}&R_{0202}&R_{0203}&R_{0223}&R_{0231}&R_{0212}\\R_{0301}&R_{0302}&R_{0303}&R_{0323}&R_{0331}&R_{0312}\\R_{2301}&R_{2302}&R_{2303}&R_{2323}&R_{2331}&R_{2312}\\R_{3101}&R_{3102}&R_{3103}&R_{3123}&R_{3131}&R_{3112}\\R_{1201}&R_{1202}&R_{1203}&R_{1223}&R_{1231}&R_{1212}\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}E&B\\B^{T}&L\end{matrix}}\right]}$

donde E, L son simétricos (seis componentes linealmente independientes, en general) y B no tiene trazas (ocho componentes linealmente independientes, en general), lo que consideramos como la representación de un operador lineal en el espacio vectorial de seis dimensiones de dos formas (en cada evento). De esto podemos leer la descomposición de Bel con respecto al campo vectorial unitario temporal . El tensor electrogravítico es ${\displaystyle {\vec {X}}={\vec {e}}_{0}={\frac {1}{a(r)}}\,\partial _{t}}$

${\displaystyle E[{\vec {X}}]_{11}={\frac {a''\,b-a'\,b'}{a\,b^{3}}}(r),\;E[{\vec {X}}]_{22}=E[{\vec {X}}]_{33}={\frac {1}{r}}{\frac {a'}{a\,b^{2}}}(r)}$

El tensor magnetogravítico desaparece de manera idéntica, y el tensor topogravítico , a partir del cual (usando el hecho de que es irrotacional) podemos determinar el tensor de Riemann tridimensional de los hiperslices espaciales, es ${\displaystyle {\vec {X}}}$

${\displaystyle L[{\vec {X}}]_{11}={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {1-b^{2}}{b^{2}}}(r),\;L[{\vec {X}}]_{22}=L[{\vec {X}}]_{33}={\frac {1}{r}}{\frac {-b'}{b^{3}}}(r)}$

Todo esto es válido para cualquier variedad de Lorentz, pero observamos que en la relatividad general, el tensor electrogravítico controla las tensiones de marea en objetos pequeños, medidas por los observadores correspondientes a nuestro marco, y el tensor magnetogravítico controla cualquier fuerza de espín-espín en objetos que giran. , medido por los observadores correspondientes a nuestro marco.

El campo de fotograma dual de nuestro campo coframe es

${\displaystyle {\vec {e}}_{0}={\frac {1}{a(r)}}\,\partial _{t}}$

${\displaystyle {\vec {e}}_{1}={\frac {1}{b(r)}}\,\partial _{r}}$

${\displaystyle {\vec {e}}_{2}={\frac {1}{r}}\,\partial _{\theta }}$

${\displaystyle {\vec {e}}_{3}={\frac {1}{r\sin \theta }}\,\partial _{\phi }}$

El hecho de que el factor aquí sólo multiplique el primero de los tres campos vectoriales espaciales ortonormales significa que las cartas de Schwarzschild no son espacialmente isotrópicas (excepto en el caso trivial de un espacio-tiempo localmente plano); más bien, los conos de luz aparecen (radialmente aplanados) o (radialmente alargados). Por supuesto, esta es solo otra forma de decir que las cartas de Schwarzschild representan correctamente distancias dentro de cada esfera redonda anidada, pero la coordenada radial no representa fielmente la distancia radial adecuada. ${\displaystyle {\frac {1}{b(r)}}}$

Algunas soluciones exactas admitiendo las cartas de Schwarzschild

Algunos ejemplos de soluciones exactas que se pueden obtener de esta manera incluyen:

• la región exterior del vacío de Schwarzschild ,
• lo mismo ocurre con el electrovacío Reissner-Nordström , que incluye el ejemplo anterior como caso especial,
• lo mismo ocurre con el electrolambdavacuum Reissner – Nordström – de Sitter, que incluye el ejemplo anterior como caso especial,
• la solución de Janis-Newman-Winacour (que modela el exterior de un objeto estático esféricamente simétrico dotado de un campo escalar mínimamente acoplado sin masa),
• Modelos estelares obtenidos al hacer coincidir una región interior que es una solución fluida perfecta, estática y esféricamente simétrica a través de un lugar esférico de presión de fuga con una región exterior, que es localmente isométrica con respecto a parte de la región de vacío de Schwarzschild.

Generalizaciones

Es natural considerar espacios-tiempos no estáticos pero esféricamente simétricos, con un gráfico de Schwarzschild generalizado en el que la métrica toma la forma

${\displaystyle g=-a(t,r)^{2}\,dt^{2}+b(t,r)^{2}\,dr^{2}+r^{2}\left(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}\right),}$

${\displaystyle -\infty <t<\infty ,\,r_{0}<r<r_{1},\,0<\theta <\pi ,\,-\pi <\phi <\pi }$

Generalizando en otra dirección, podemos utilizar otros sistemas de coordenadas en nuestras dos esferas redondas, para obtener, por ejemplo, una carta estereográfica de Schwarzschild que a veces resulta útil:

${\displaystyle g=-a(r)^{2}\,dt^{2}+b(r)^{2}\,dr^{2}+{\frac {dx^{2}+dy^{2}}{(1+x^{2}+y^{2})^{2}}},\;-\infty <t,x,y<\infty ,r_{1}<r<r_{2}}$

Ver también

• espacio-tiempo estático ,
• espaciotiempo esféricamente simétrico ,
• fluidos perfectos estáticos esféricamente simétricos ,
• coordenadas isotrópicas , otro gráfico popular para espacios-tiempos estáticos esféricamente simétricos,
• Coordenadas polares gaussianas , un gráfico alternativo menos común para espacios-tiempos estáticos esféricamente simétricos,
• Coordenadas Gullstrand-Painlevé , un gráfico simple que es válido dentro del horizonte de sucesos de un agujero negro estático.
• campos de marco en relatividad general , para obtener más información sobre campos de marco y campos de cocuadro,
• Descomposición de Bel del tensor de Riemann,
• congruencia (relatividad general) , para obtener más información sobre congruencias como las anteriores, ${\displaystyle {\vec {X}}}$
• Coordenadas Kruskal-Szekeres , un gráfico que cubre toda la variedad espacio-temporal de la solución de Schwarzschild máximamente extendida y se comporta bien en todas partes fuera de la singularidad física,
• Coordenadas de Eddington-Finkelstein , un gráfico alternativo para espacios-tiempos estáticos esféricamente simétricos,
• Coordenadas de Lemaître , un gráfico más antiguo que es regular en el horizonte de sucesos.

Notas

1. es la notación para un campo vectorial que apunta en la dirección temporal. Está escrito de manera que se parezca al operador diferencial con respecto a t, porque se pueden tomar derivadas en esta dirección. La notación = se utiliza frecuente y genéricamente para indicar un campo vectorial en el paquete tangente . ${\displaystyle \partial _{t}}$ ${\displaystyle \partial _{x}}$ ${\displaystyle \partial /\partial x}$