Coordenadas de Boyer-Lindquist

En la descripción matemática de la relatividad general , las coordenadas de Boyer-Lindquist ^[1] son ​​una generalización de las coordenadas utilizadas para la métrica de un agujero negro de Schwarzschild que pueden usarse para expresar la métrica de un agujero negro de Kerr .

El hamiltoniano para el movimiento de partículas en el espacio-tiempo de Kerr es separable en coordenadas de Boyer-Lindquist. Utilizando la teoría de Hamilton-Jacobi se puede derivar una cuarta constante del movimiento conocida como la constante de Carter . ^[2]

El artículo de 1967 que presentó las coordenadas de Boyer-Lindquist ^[1] fue una publicación póstuma de Robert H. Boyer, quien murió en el tiroteo de la torre de la Universidad de Texas en 1966. ^{[3] [4]}

Elemento de línea

El elemento de línea para un agujero negro con una masa total equivalente , un momento angular y una carga en coordenadas de Boyer-Lindquist y unidades geometrizadas ( ) es ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle G=c=1}$

${\displaystyle ds^{2}=-{\frac {\Delta }{\rho ^{2}}}\left(dt-a\sin ^{2}\theta \,d\phi \right)^{2}+{\frac {\sin ^{2}\theta }{\rho ^{2}}}{\Big (}\left(r^{2}+a^{2}\right)\,d\phi -a\,dt{\Big )}^{2}+{\frac {\rho ^{2}}{\Delta }}dr^{2}+\rho ^{2}\,d\theta ^{2}}$

dónde

${\displaystyle \Delta =r^{2}-2Mr+a^{2}+Q^{2},}$llamado el discriminante ,

${\displaystyle \rho ^{2}=r^{2}+a^{2}\cos ^{2}\theta ,}$

y

${\displaystyle a={\frac {J}{M}},}$llamado parámetro Kerr .

Nótese que en unidades geometrizadas , , y todas tienen unidades de longitud. Este elemento de línea describe la métrica de Kerr–Newman . Aquí, debe interpretarse como la masa del agujero negro, vista por un observador en el infinito, se interpreta como el momento angular , y la carga eléctrica . Todos estos están destinados a ser parámetros constantes, que se mantienen fijos. El nombre del discriminante surge porque aparece como el discriminante de la ecuación cuadrática que limita el movimiento temporal de las partículas que orbitan el agujero negro, es decir , que define la ergosfera. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle Q}$

La transformación de coordenadas de las coordenadas de Boyer–Lindquist , , a coordenadas cartesianas , , viene dada (para ) por: ^[5] ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle m\to 0}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}x&={\sqrt {r^{2}+a^{2}}}\sin \theta \cos \phi \\y&={\sqrt {r^{2}+a^{2}}}\sin \theta \sin \phi \\z&=r\cos \theta \end{aligned}}}$

Cuatro semanas

Las formas unitarias de Vierbein se pueden leer directamente desde el elemento de línea:

${\displaystyle \sigma ^{0}={\frac {\sqrt {\Delta }}{\rho }}\left(dt-a\sin ^{2}\theta \,d\phi \right)}$

${\displaystyle \sigma ^{1}={\frac {\rho }{\sqrt {\Delta }}}dr}$

${\displaystyle \sigma ^{2}=\rho \,d\theta }$

${\displaystyle \sigma ^{3}={\frac {\sin \theta }{\rho }}{\Big (}\left(r^{2}+a^{2}\right)\,d\phi -a\,dt{\Big )}}$

de modo que el elemento de línea está dado por

${\displaystyle ds^{2}=\sigma ^{a}\otimes \sigma ^{b}\eta _{ab}}$

¿Dónde está la métrica de Minkowski del espacio plano ? ${\displaystyle \eta _{ab}}$

Conexión de giro

La conexión de giro sin torsión se define por ${\displaystyle \omega ^{ab}}$

${\displaystyle d\sigma ^{a}+\omega ^{ab}\wedge \sigma ^{c}\eta _{bc}=0}$

El tensor de torsión proporciona la diferencia entre una conexión con torsión y una conexión correspondiente sin torsión. Por convención, las variedades de Riemann siempre se especifican con geometrías sin torsión; la torsión se utiliza a menudo para especificar geometrías planas equivalentes.

La conexión de espín es útil porque proporciona un punto intermedio para calcular la curvatura en dos formas :

${\displaystyle R^{ab}=d\omega ^{ab}+\omega ^{ac}\wedge \omega ^{db}\eta _{cd}}$

También es la forma más adecuada para describir el acoplamiento a los campos de espinores y abre la puerta al formalismo twistor .

Los seis componentes de la conexión de espín no desaparecen. Son los siguientes: ^[6]

${\displaystyle \omega ^{01}={\frac {1}{\rho ^{3}}}\left[{\frac {-2Mr^{2}+2rQ^{2}+a^{2}[M+r+(M-r)\cos 2\theta ]}{2{\sqrt {\Delta }}}}\,\sigma ^{0}+ra\sin \theta \,\sigma ^{3}\right]}$

${\displaystyle \omega ^{02}={\frac {a\cos \theta }{\rho ^{3}}}\left[a\sin \theta \,\sigma ^{0}+{\sqrt {\Delta }}\,\sigma ^{3}\right]}$

${\displaystyle \omega ^{03}={\frac {a}{\rho ^{3}}}\left[r\sin \theta \,\sigma ^{1}-{\sqrt {\Delta }}\cos \theta \,\sigma ^{2}\right]}$

${\displaystyle \omega ^{12}={\frac {1}{\rho ^{3}}}\left[a^{2}\sin \theta \cos \theta \,\sigma ^{1}+r{\sqrt {\Delta }}\,\sigma ^{2}\right]}$

${\displaystyle \omega ^{13}={\frac {r}{\rho ^{3}}}\left[a\sin \theta \,\sigma ^{0}+{\sqrt {\Delta }}\,\sigma ^{3}\right]}$

${\displaystyle \omega ^{23}={\frac {\cot \theta }{\rho ^{3}}}\left[a{\sqrt {\Delta }}\sin \theta \,\sigma ^{0}+(r^{2}+a^{2})\,\sigma ^{3}\right]}$

Tensores de Riemann y Ricci

El tensor de Riemann escrito en su totalidad es bastante detallado; se puede encontrar en Frè. ^[6] El tensor de Ricci toma la forma diagonal:

${\displaystyle {\mbox{Ric}}={\frac {Q^{2}}{\rho ^{4}}}{\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{bmatrix}}}$

Observe la ubicación de la entrada menos uno: esto proviene completamente de la contribución electromagnética. Es decir, cuando el tensor de tensión electromagnética tiene solo dos componentes que no se desvanecen: y , entonces el tensor de energía-momento correspondiente toma la forma ${\displaystyle F_{ab}}$ ${\displaystyle F_{01}}$ ${\displaystyle F_{23}}$

${\displaystyle T^{\mbox{Maxwell}}={\frac {F_{01}^{2}+F_{23}^{2}}{4}}{\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{bmatrix}}}$

Igualando esto con el tensor de energía-momento del campo gravitacional llegamos a la solución de electrovacío de Kerr-Newman .

Referencias

1. Boyer, Robert H.; Lindquist, Richard W. (1967). "Extensión analítica máxima de la métrica de Kerr". Revista de física matemática . 8 (2): 265–281. Código Bibliográfico :1967JMP.....8..265B. doi :10.1063/1.1705193.
2. Carter, Brandon (1968). "Estructura global de la familia Kerr de campos gravitacionales". Physical Review . 174 (5): 1559–1571. Código Bibliográfico :1968PhRv..174.1559C. doi :10.1103/PhysRev.174.1559.
3. "Las víctimas". Detrás de la Torre . 15 de julio de 2016 . Consultado el 2 de noviembre de 2022 .
4. "Robert Hamilton Boyer". Física Hoy . 19 (9): 121. Septiembre 1966. doi : 10.1063/1.3048457 .
5. Matt Visser, arXiv:0706.0622v3, ecuaciones 60-62
6. Pietro Giuseppe Frè, "Gravedad, un curso geométrico, volumen 2: agujeros negros, cosmología e introducción a la supergravedad", (2013) Springer-Verlag

• Shapiro, SL; Teukolsky, SA (1983). Agujeros negros, enanas blancas y estrellas de neutrones: la física de los objetos compactos . Nueva York: Wiley. pág. 357. ISBN. 9780471873167.