Descomposición de Bel

En geometría semi-riemanniana , la descomposición de Bel , tomada con respecto a una congruencia temporal específica , es una forma de descomponer el tensor de Riemann de una variedad pseudo-riemanniana en tensores de orden inferior con propiedades similares al campo eléctrico y al campo magnético . Dicha descomposición fue descrita parcialmente por Alphonse Matte en 1953 ^[1] y por Lluis Bel en 1958. ^[2]

Esta descomposición es particularmente importante en la relatividad general . ^{[ cita requerida ] Este es el caso de} las variedades lorentzianas de cuatro dimensiones , para las cuales sólo hay tres piezas con propiedades simples e interpretaciones físicas individuales.

Descomposición del tensor de Riemann

En cuatro dimensiones, la descomposición de Bel del tensor de Riemann, con respecto a un campo vectorial unitario temporal , no necesariamente geodésico u ortogonal a la hipersuperficie, consta de tres partes: ${\displaystyle {\vec {X}}}$

1. El tensor electrogravitatorio ${\displaystyle E[{\vec {X}}]_{ab}=R_{ambn}\,X^{m}\,X^{n}}$
   • También conocido como tensor de mareas . Se puede interpretar físicamente como la expresión de las tensiones de marea sobre pequeñas partes de un objeto material (sobre las que también pueden actuar otras fuerzas físicas), o las aceleraciones de marea de una pequeña nube de partículas de prueba en una solución de vacío o de electrovacío .
2. El tensor magnetogravitatorio ${\displaystyle B[{\vec {X}}]_{ab}={{}^{\star }R}_{ambn}\,X^{m}\,X^{n}}$
   • Se puede interpretar físicamente como una especificación de posibles fuerzas de espín-espín sobre trozos de materia que giran, como por ejemplo partículas de prueba que giran .
3. El tensor topogravítico ${\displaystyle L[{\vec {X}}]_{ab}={{}^{\star }R^{\star }}_{ambn}\,X^{m}\,X^{n}}$
   • Puede interpretarse como la representación de las curvaturas seccionales de la parte espacial de un campo de marco.

Como todos ellos son transversales (es decir, proyectados a los elementos del hiperplano espacial ortogonales a nuestro campo vectorial unitario temporal), se pueden representar como operadores lineales en vectores tridimensionales o como matrices reales de tres por tres. Son respectivamente simétricos, sin traza y simétricos (6, 8, 6 componentes linealmente independientes, para un total de 20). Si escribimos estos operadores como E , B , L respectivamente, los invariantes principales del tensor de Riemann se obtienen de la siguiente manera:

• ${\displaystyle K_{1}/4}$es la traza de E ² + L ² - 2 B B ^T ,
• ${\displaystyle -K_{2}/8}$es la traza de B ( E - L ),
• ${\displaystyle K_{3}/8}$es el rastro de E L - B ² .

Véase también

• Tensor de Bel-Robinson
• Descomposición de Ricci
• Tensor de marea
• Ecuaciones de Papapetrou-Dixon
• Invariante de curvatura

Referencias

1. Matte, A. (1953), "Sur de nouvellessolutions oscillatoires des ecuaciones de la gravitación", Can. J. Matemáticas. , 5 : 1, doi : 10.4153/CJM-1953-001-3
2. Bel, L. (1958), "Définition d'une densité d'énergie et d'un état de Radiation totale généralisée", Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences , 246 : 3015