campo ciclotómico

En teoría de números , un campo ciclotómico es un campo numérico obtenido al unir una raíz compleja de la unidad a $Q$ , el campo de los números racionales .

Los campos ciclotómicos desempeñaron un papel crucial en el desarrollo del álgebra y la teoría de números modernas debido a su relación con el último teorema de Fermat . Fue en el proceso de sus profundas investigaciones sobre la aritmética de estos campos (para el primo $n$ ) – y más precisamente, debido al fracaso de la factorización única en sus anillos de números enteros – que Ernst Kummer introdujo por primera vez el concepto de número ideal y demostró sus célebres congruencias .

Definición

Para $n \geq 1$ , sea $ζ n = e 2π i / n \in C$ ; esta es una raíz $enésima$ primitiva de la unidad. Entonces el $n-$ ésimo campo ciclotómico es la extensión $Q$ $(ζ$ $n$ $)$ de $Q$ generada por $ζ$ $n$ .

Propiedades

El $enésimo$ polinomio ciclotómico

\Phi _{n}(x)=\prod _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\gcd(k,n)=1}}\!\!\!\left(xe ^{2\pi ik/n}\right)=\prod _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\gcd(k,n)=1}}\!\!\!(x-{ \zeta_{n}}^{k})

es irreducible , por lo que es el polinomio mínimo de

ζ n

sobre

Q.

Los conjugados de $ζ n$ en $C$ son, por tanto, las otras raíces primitivas $n-$ ésimas de la unidad: $ζ kn $ para $1 \leq k \leq n$ con $mcd(k, n) = 1$ .
El grado de $Q (ζ n)$ es por lo tanto $[Q (ζ n) : Q] = grados Φ n = φ (n)$ , donde $φ$ es la función totiente de Euler .
Las raíces de $x n - 1$ son las potencias de $ζ n$ , por lo que $Q (ζ n)$ es el campo de división de $x n - 1$ (o de $Φ(x)$ ) sobre $Q$ .
Por lo tanto $Q (ζ n)$ es una extensión de Galois de $Q$ .
El grupo de Galois es naturalmente isomorfo al grupo multiplicativo , que consta de los residuos invertibles módulo $n$ , que son los residuos $a$ $mod$ $n$ con $1 \leq$ $a$ $\leq$ $n$ y $mcd ($ $a$ $,$ $n$ $) = 1$ . El isomorfismo envía cada uno a $un$ $mod$ $n$ , donde $a$ es un número entero tal que $σ(ζ$ $n$ $) = ζ$ $\operatorname {Gal} (\mathbf {Q} (\zeta _ {n})/\mathbf {Q} )$ $(\mathbf {Z} /n\mathbf {Z} )^{\times }$ $\sigma \in \operatorname {Gal} (\mathbf {Q} (\zeta _ {n})/\mathbf {Q} )$ $un $ .
El anillo de números enteros de $Q (ζ n)$ es $Z [ζ n]$ .
Para $n > 2$ , el discriminante de la extensión $Q (ζ n) / Q$ es ^[1]

(-1)^{\varphi (n)/2}\,{\frac {n^{\varphi (n)}}{\displaystyle \prod _{p|n}p^{\varphi ( n)/(p-1)}}}.

En particular, $Q (ζ n) / Q$ no está ramificado por encima de cada primo que no divide $n$ .
Si $n$ es una potencia de un primo $p$ , entonces $Q (ζ n)/ Q$ está totalmente ramificado por encima de $p$ .
Si $q$ es un primo que no divide $a n$ , entonces el elemento de Frobenius corresponde al residuo de $q$ en . $\operatorname {Frob} _ {q}\in \operatorname {Gal} (\mathbf {Q} (\zeta _ {n})/\mathbf {Q} )$ $(\mathbf {Z} /n\mathbf {Z} )^{\times }$
El grupo de raíces de la unidad en $Q (ζ n)$ tiene orden $n$ o $2 n$ , según $n$ sea par o impar.
El grupo unitario $Z [ζ n] \times$ es un grupo abeliano finitamente generado de rango $φ (n)/2 - 1$ , para cualquier $n > 2$ , según el teorema unitario de Dirichlet . En particular, $Z [ζ n] \times$ es finito sólo para $n \in {1, 2, 3, 4, 6$ }. El subgrupo de torsión de $Z [ζ n] \times$ es el grupo de raíces de la unidad en $Q (ζ n)$ , que se describió en el punto anterior. Las unidades ciclotómicas forman un subgrupo explícito de índice finito de $Z$ $[ζ$ $n$ $]$ $\times$ .
El teorema de Kronecker-Weber establece que toda extensión abeliana finita de $Q$ en $C$ está contenida en $Q$ $(ζ$ $n$ $)$ para algún $n$ . De manera equivalente, la unión de todos los campos ciclotómicos $Q$ $(ζ$ $n$ $)$ es la extensión abeliana máxima $Q$ $ab$ de $Q$ .

Relación con polígonos regulares

Gauss hizo avances tempranos en la teoría de los campos ciclotómicos, en relación con el problema de construir un n -gon regular con un compás y una regla . Su sorprendente resultado, que se les había escapado a sus predecesores, fue que así se podía construir un 17-gon normal. De manera más general, para cualquier número entero $n \geq 3$ , lo siguiente es equivalente:

$un n$ -gon regular es construible;
hay una secuencia de campos, que comienza con $Q$ y termina con $Q (ζ n)$ , tal que cada uno es una extensión cuadrática del campo anterior;
$φ (n)$ es una potencia de 2 ;
$n=2^{a}p_{1}\cdots p_{r}$ para algunos números enteros $a, r \geq 0$ y primos de Fermat . (Un primo de Fermat es un primo impar $p$ tal que $p$ $- 1$ es una potencia de 2. Los primos de Fermat conocidos son 3 , 5 , 17 , 257 , 65537 , y es probable que no haya otros). $p_{1},\ldots,p_{r}$

Pequeños ejemplos

$n = 3$ y $n = 6$ : Las ecuacionesymuestran que $Q$ $(ζ$ $3$ $) =$ $Q$ $(ζ$ $6$ $) =$ $Q$ $($ $\sqrt$ $-3$ $)$ , que es una extensión cuadrática de $Q$ . En consecuencia, se pueden construir un 3-gon regular y un regular 6-gon. $\zeta _{3}={\tfrac {-1+{\sqrt {-3}}}{2}}$ $\zeta _{6}={\tfrac {1+{\sqrt {-3}}}{2}}$
$n = 4$ : De manera similar, $ζ 4 = i$ , entonces $Q (ζ 4) = Q (i)$ , y se puede construir un 4-gon regular.
$n = 5$ : El campo $Q (ζ 5)$ no es una extensión cuadrática de $Q$ , pero es una extensión cuadrática de la extensión cuadrática $Q (\sqrt 5)$ , por lo que se puede construir un 5-gon regular.

Relación con el último teorema de Fermat

Un enfoque natural para demostrar el último teorema de Fermat es factorizar el binomio $x n + y n$ , donde $n$ es un primo impar que aparece en un lado de la ecuación de Fermat.

x^{n}+y^{n}=z^{n}

como sigue:

x^{n}+y^{n}=(x+y)(x+\zeta y)\cdots (x+\zeta ^{n-1}y)

Aquí $x$ e $y$ son números enteros ordinarios, mientras que los factores son números enteros algebraicos en el campo ciclotómico $Q (ζ n)$ . Si la factorización única se cumple en los enteros ciclotómicos $Z [ζ n]$ , entonces se puede utilizar para descartar la existencia de soluciones no triviales a la ecuación de Fermat.

Varios intentos de abordar el último teorema de Fermat siguieron estas líneas, y tanto la prueba de Fermat para $n = 4$ como la prueba de Euler para $n = 3$ pueden reformularse en estos términos. La lista completa de $n$ para los cuales $Z [ζ n]$ tiene factorización única es ^[2]

1 a 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 40, 42, 44, 45, 48, 50, 54, 60, 66, 70, 84, 90.

Kummer encontró una manera de abordar el fracaso de la factorización única. Introdujo un reemplazo para los números primos en los enteros ciclotómicos $Z [ζ n]$ , midió el fracaso de la factorización única a través del número de clase $h n$ y demostró que si $h p$ no es divisible por un primo $p$ (tales $p$ se llaman primos regulares ) entonces el teorema de Fermat es verdadero para el exponente $n = p$ . Además, dio un criterio para determinar qué primos son regulares y estableció el teorema de Fermat para todos los exponentes primos $p$ menores que 100, excepto para los primos irregulares 37 , 59 y 67 . El trabajo de Kummer sobre las congruencias para los números de clase de los campos ciclotómicos fue generalizado en el siglo XX por Iwasawa en la teoría de Iwasawa y por Kubota y Leopoldt en su teoría de las funciones zeta p -ádicas .

Lista de números de clase de campos ciclotómicos

(secuencia A061653 en OEIS ), u OEIS : A055513 o OEIS : A000927 para la parte (para n principal ) $h$

1-22: 1
23: 3
24-28: 1
29: 8
30: 1
31: 9
32-36: 1
37: 37
38: 1
39: 2
40: 1
41: 121
42: 1
43: 211
44: 1
45: 1
46: 3
47: 695
48: 1
49: 43
50: 1
51: 5
52: 3
53: 4889
54: 1
55: 10
56: 2
57: 9
58: 8
59: 41241
60: 1
61: 76301
62: 9
63: 7
64: 17
65:64
66: 1
67: 853513
68: 8
69: 69
70: 1
71: 3882809
72: 3
73: 11957417
74: 37
75: 11
76: 19
77: 1280
78: 2
79: 100146415
80: 5
81: 2593
82: 121
83: 838216959
84: 1
85: 6205
86: 211
87: 1536
88: 55
89: 13379363737
90: 1
91: 53872
92: 201
93: 6795
94: 695
95: 107692
96: 9
97: 411322824001
98: 43
99: 2883
100: 55
101: 3547404378125
102: 5
103: 9069094643165
104: 351
105: 13
106: 4889
107: 63434933542623
108: 19
109: 161784800122409
110: 10
111: 480852
112: 468
113: 1612072001362952
114: 9
115: 44697909
116: 10752
117: 132678
118: 41241
119: 1238459625
120: 4
121: 12188792628211
122: 76301
123: 8425472
124: 45756
125: 57708445601
126: 7
127: 2604529186263992195
128: 359057
129: 37821539
130:64
131: 28496379729272136525
132: 11
133: 157577452812
134: 853513
135: 75961
136: 111744
137: 646901570175200968153
138: 69
139: 1753848916484925681747
140: 39
141: 1257700495
142: 3882809
143: 36027143124175
144: 507
145: 1467250393088
146: 11957417
147: 5874617
148: 4827501
149: 687887859687174720123201
150: 11
151: 2333546653547742584439257
152: 1666737
153: 2416282880
154: 1280
155: 84473643916800
156: 156
157: 56234327700401832767069245
158: 100146415
159: 223233182255
160: 31365

Ver también

Referencias

^ Washington 1997, Proposición 2.7.
^ Washington 1997, Teorema 11.1.

Fuentes

Bryan Birch , "Campos ciclotómicos y extensiones de Kummer", en JWS Cassels y A. Frohlich (edd), Teoría algebraica de números , Academic Press , 1973. Capítulo III, págs.
Daniel A. Marcus, Campos numéricos , primera edición, Springer-Verlag, 1977
Washington, Lawrence C. (1997), Introducción a los campos ciclotómicos , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 83 (2 ed.), Nueva York: Springer-Verlag, doi :10.1007/978-1-4612-1934-7, ISBN 0-387-94762-0, SEÑOR 1421575
Serge Lang , Campos ciclotómicos I y II , Segunda edición combinada. Con apéndice de Karl Rubin . Textos de posgrado en matemáticas , 121. Springer-Verlag, Nueva York, 1990. ISBN 0-387-96671-4

Otras lecturas

Coates, Juan ; Sujatha, R. (2006). Campos ciclotómicos y valores Zeta . Monografías de Springer en Matemáticas. Springer-Verlag . ISBN 3-540-33068-2. Zbl 1100.11002.
Weisstein, Eric W. "Campo ciclotómico". MundoMatemático .
"Campo ciclotómico", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
Sobre el anillo de números enteros de campos ciclotómicos reales. Koji Yamagata y Masakazu Yamagishi: Proc, Academia de Japón, 92. Ser a (2016)