Casi seguro

Probabilidad diciendo

En teoría de la probabilidad , se dice que un evento sucede casi con seguridad (a veces abreviado como como ) si sucede con probabilidad 1 (con respecto a la medida de probabilidad). ^[1] En otras palabras, el conjunto de resultados en los que el evento no ocurre tiene probabilidad 0, aunque el conjunto no esté vacío. El concepto es análogo al concepto de " casi en todas partes " en la teoría de la medida . En experimentos de probabilidad en un espacio muestral finito con una probabilidad distinta de cero para cada resultado, no hay diferencia entre casi con seguridad y seguramente (ya que tener una probabilidad de 1 implica incluir todos los puntos de muestra ); sin embargo, esta distinción se vuelve importante cuando el espacio muestral es un conjunto infinito , ^[2] porque un conjunto infinito puede tener subconjuntos no vacíos de probabilidad 0.

Algunos ejemplos del uso de este concepto incluyen las versiones fuerte y uniforme de la ley de los grandes números , la continuidad de las trayectorias del movimiento browniano y el teorema del mono infinito . También se utilizan los términos casi con certeza (ac) y casi siempre (aa). Casi nunca describe lo opuesto de casi con seguridad : un evento que sucede con probabilidad cero sucede casi nunca . ^[3]

Definición formal

Sea un espacio de probabilidad . Un evento ocurre casi seguramente si . Equivalentemente, ocurre casi seguramente si la probabilidad de no ocurrir es cero : . De manera más general, cualquier conjunto (no necesariamente en ) ocurre casi seguramente si está contenido en un conjunto nulo : un subconjunto en tal que . ^[4] La noción de casi certeza depende de la medida de probabilidad . Si es necesario enfatizar esta dependencia, se acostumbra decir que el evento ocurre P -casi seguramente, o casi seguramente . ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ ${\displaystyle E\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle P(E)=1}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle P(E^{C})=0}$ ${\displaystyle E\subseteq \Omega }$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle E^{C}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle P(N)=0}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \left(\!P\right)}$

Ejemplos ilustrativos

En general, un evento puede ocurrir "casi con seguridad", incluso si el espacio de probabilidad en cuestión incluye resultados que no pertenecen al evento, como lo ilustran los siguientes ejemplos.

Lanzando un dardo

Imaginemos que lanzamos un dardo a un cuadrado unitario (un cuadrado con un área de 1) de modo que el dardo siempre dé en un punto exacto del cuadrado, de modo que cada punto del cuadrado tenga la misma probabilidad de ser dado. Como el cuadrado tiene un área de 1, la probabilidad de que el dardo dé en cualquier subregión particular del cuadrado es igual al área de esa subregión. Por ejemplo, la probabilidad de que el dardo dé en la mitad derecha del cuadrado es 0,5, ya que la mitad derecha tiene un área de 0,5.

A continuación, considere el evento de que el dardo caiga exactamente en un punto de las diagonales del cuadrado unitario. Como el área de las diagonales del cuadrado es 0, la probabilidad de que el dardo caiga exactamente en una diagonal es 0. Es decir, el dardo casi nunca caerá en una diagonal (equivalentemente, es casi seguro que no caerá en una diagonal), aunque el conjunto de puntos en las diagonales no esté vacío y un punto en una diagonal no sea menos posible que cualquier otro punto.

Lanzar una moneda repetidamente

Consideremos el caso en el que se lanza una moneda (posiblemente sesgada), correspondiente al espacio de probabilidad , donde el evento ocurre si sale cara y si sale cruz. Para esta moneda en particular, se supone que la probabilidad de que salga cara es , de lo que se deduce que el evento complementario, es decir, que salga cruz, tiene probabilidad . ${\displaystyle (\{H,T\},2^{\{H,T\}},P)}$ ${\displaystyle \{H\}}$ ${\displaystyle \{T\}}$ ${\displaystyle P(H)=p\in (0,1)}$ ${\displaystyle P(T)=1-p}$

Ahora, supongamos que se lleva a cabo un experimento en el que se lanza la moneda repetidamente, con resultados y el supuesto de que el resultado de cada lanzamiento es independiente de todos los demás (es decir, son independientes y se distribuyen de manera idéntica ; iid ). Defina la secuencia de variables aleatorias en el espacio de lanzamiento de la moneda, donde . es decir, cada una registra el resultado del lanzamiento n. ${\displaystyle \omega _{1},\omega _{2},\ldots }$ ${\displaystyle (X_{i})_{i\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle X_{i}(\omega )=\omega _{i}}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle i}$

En este caso, cualquier secuencia infinita de caras y cruces es un resultado posible del experimento. Sin embargo, cualquier secuencia infinita particular de caras y cruces tiene una probabilidad 0 de ser el resultado exacto del experimento (infinito). Esto se debe a que el supuesto iid implica que la probabilidad de obtener caras en todas las tiradas es simplemente . Si hacemos que 0 sea igual a 0, ya que , por supuesto, el resultado es el mismo sin importar cuánto inclinemos la moneda hacia la cara, siempre que la limitemos a estar estrictamente entre 0 y 1. De hecho, el mismo resultado se cumple incluso en el análisis no estándar, donde se permiten probabilidades infinitesimales. ^[5] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle P(X_{i}=H,\ i=1,2,\dots ,n)=\left(P(X_{1}=H)\right)^{n}=p^{n}}$ ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$ ${\displaystyle p\in (0,1)}$ ${\displaystyle p}$

Además, el evento "la secuencia de lanzamientos contiene al menos un 1 " también ocurrirá casi con seguridad (es decir, con probabilidad 1). Pero si en lugar de un número infinito de lanzamientos, el lanzamiento se detiene después de un tiempo finito, digamos 1.000.000 de lanzamientos, entonces la probabilidad de obtener una secuencia de todas caras, , ya no sería 0, mientras que la probabilidad de obtener al menos un 1 cruz, , ya no sería 1 (es decir, el evento ya no es casi seguro). ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle p^{1,000,000}}$ ${\displaystyle 1-p^{1,000,000}}$

Asintóticamente casi con seguridad

En el análisis asintótico , se dice que una propiedad se cumple de manera casi segura asintóticamente (aas) si, en una secuencia de conjuntos, la probabilidad converge a 1. Esto es equivalente a la convergencia en probabilidad . Por ejemplo, en la teoría de números, un número grande es asintóticamente casi seguro compuesto , según el teorema de los números primos ; y en la teoría de grafos aleatorios , la afirmación " está conexo " (donde denota los grafos en los vértices con probabilidad de arista ) es verdadera aas cuando, para algún ${\displaystyle G(n,p_{n})}$ ${\displaystyle G(n,p)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$

${\displaystyle p_{n}>{\frac {(1+\varepsilon )\ln n}{n}}.}$   ^[6]

En teoría de números , esto se denomina " casi todos ", como en "casi todos los números son compuestos". De manera similar, en teoría de grafos, esto a veces se denomina "casi con seguridad". ^[7]

Véase también

• Portal de matemáticas

• Casi
• Casi en todas partes , el concepto correspondiente en la teoría de la medida
• Convergencia de variables aleatorias , para una "convergencia casi segura"
• Con alta probabilidad
• La regla de Cromwell , que dice que las probabilidades casi nunca deben establecerse como cero o uno.
• Distribución degenerada , para "casi seguramente constante"
• Teorema del mono infinito , un teorema que utiliza los términos antes mencionados
• Lista de jerga matemática

Notas

1. Weisstein, Eric W. "Casi seguro". mathworld.wolfram.com . Consultado el 16 de noviembre de 2019 .
2. "Casi seguro - Math Central". mathcentral.uregina.ca . Consultado el 16 de noviembre de 2019 .
3. Grädel, Erich; Kolaitis, Phokion G.; Libkin, Leonid ; Marx, Maarten; Spencer, Joel; Vardi, Moshe Y.; Venema, Yde; Weinstein, Scott (2007). Teoría de modelos finitos y sus aplicaciones . Springer. pág. 232. ISBN 978-3-540-00428-8.
4. Jacod, Jean; Protter (2004). Conceptos básicos de probabilidad . Saltador. pag. 37.ISBN​ 978-3-540-438717.
5. Williamson, Timothy (1 de julio de 2007). "¿Qué probabilidad hay de que aparezca una secuencia infinita de caras?". Análisis . 67 (3): 173–180. doi :10.1093/analys/67.3.173. ISSN  0003-2638.
6. Friedgut, Ehud; Rödl, Vojtech; Rucinski, Andrzej; Tetali, Prasad (enero de 2006). "Un umbral nítido para gráficos aleatorios con un triángulo monocromático en cada coloración de aristas". Memorias de la American Mathematical Society . 179 (845). Librería AMS: 3–4. doi :10.1090/memo/0845. ISSN  0065-9266. S2CID  9143933.
7. Spencer, Joel H. (2001). "0. Dos ejemplos iniciales". La extraña lógica de los grafos aleatorios . Algoritmos y combinatoria. Vol. 22. Springer. pág. 4. ISBN 978-3540416548.

Referencias

• Rogers, LCG; Williams, David (2000). Difusiones, procesos de Markov y martingalas . Vol. 1: Fundamentos. Cambridge University Press. ISBN 978-0521775946.
• Williams, David (1991). Probabilidad con martingalas . Cambridge Mathematical Textbooks. Cambridge University Press. ISBN 978-0521406055.