Conway es conocido por su papel de "The Falcon" en The Falcon's Brother (1942), la cual protagonizó junto a su hermano George Sanders.

También es conocido por su aparición en varias películas de Val Lewton.

Conway nació en San Petersburgo, Rusia.

A comienzos de la Revolución rusa, la familia se mudó a Inglaterra, donde Conway fue educado en la Bedales School y en el Brighton College.

Viajó a Rodesia del Norte, donde trabajó en la minería, para luego volver a Inglaterra, apareciendo en varias obras con la Manchester Repertory Company y actuando en la BBC Radio.