Furneaux nació en Swilly, cerca de Plymouth.

Entró en la Royal Navy y fue empleada en las costas francesas y africanas, y en las Antillas durante la última parte de la Guerra de los Siete Años (1760-63).

Furneaux se convirtió en comandante en noviembre de 1771 y comandó el HMS Adventure que acompañó a James Cook (con el HMS Resolution) en su segundo viaje.

Cook visitó esas tierras en su tercer viaje, confirmando la información y el trazado de la carta de Furneaux (con algunas críticas y enmiendas de menor importancia), Cook bautizó con su nombre al grupo Furneaux, las islas del estrecho de Banks, que dan inicio al estrecho de Bass, y al grupo ahora conocido como el archipiélago Low.

[1]​ Después de que el Adventure quedase finalmente separado del Resolutión en las aguas costeras de Nueva Zelandia, en octubre de 1773, Furneaux regresó a casa solo, llevando con él Omai de Ulaietea (Raiatea), el primer nativo de las islas del Mar del Sur que viajó al Reino Unido y que volvió de regreso a Tahití con Cook en 1776-77.