Teorema fundamental de la aritmética

El teorema dice dos cosas sobre este ejemplo: primero, que 1200 puede representarse como un producto de primos, y segundo, que no importa cómo se haga, siempre habrá exactamente cuatro 2, un 3, dos 5 y ningún otro primo en el producto.Sin embargo, el teorema no se cumple para enteros algebraicos.El teorema fundamental puede derivarse del Libro VII, proposiciones 30, 31 y 32, y del Libro IX, proposición 14 de Elementos de Euclides.La proposición 14 del Libro IX se deriva de la proposición 30 del Libro VII, y prueba parcialmente que la descomposición es única - un punto críticamente señalado por André Weil.[4]​ En efecto, en esta proposición los exponentes son todos iguales a uno, por lo que no se dice nada para el caso general.En efecto, cualquier número positivo puede ser representado únicamente como un producto infinito tomado sobre todo el conjunto de los números primos, donde un número finito de αp son enteros positivos, y el resto son cero.Permitiendo exponentes negativos se proporciona una forma canónica para los números racionales.Por ejemplo, la factorización anteriormente dada de 6936 muestra que cualquier divisor positivo 6936 debe tener la forma:divisores positivos Una vez que se conoce la factorización en primos de dos números, se pueden hallar fácilmente su máximo común divisor y mínimo común múltiplo.Sin embargo, si no se conoce la factorización en primos, usar el algoritmo de Euclides en general requiere muchos menos cálculos que factorizar los dos números.El teorema fundamental implica que las funciones aritméticas aditivas y multiplicativas están completamente determinadas por sus valores en las potencias de los números primos.Cualquier número entero n mayor que 1 puede escribirse de manera única, salvo el orden, como un producto de números primos.El teorema fue prácticamente demostrado por primera vez por Euclides (es la Proposición 14 del libro 9 de sus Elementos), aunque la primera demostración completa apareció en las Disquisitiones Arithmeticae de Carl Friedrich Gauss.Aunque a primera vista el teorema parezca «obvio», no vale en sistemas numéricos más generales, entre estos muchos anillos de enteros algebraicos.En el primer paso, se demuestra que todo número es un producto de números primos (incluido el producto vacío).también puede escribirse como producto de primos, lo que es contradictorio.Por tanto, esta debe ser falsa: todo entero se puede descomponer como producto de primos.La demostración de la unicidad se apoya en el siguiente hecho: si un número primoson primos entre sí y por la identidad de Bézout existeny, puesto que los dos sumandos del lado izquierdo son divisibles porpor hipótesis), todo el término de la izquierda es divisible pory, en consecuencia, el término de la derecha también lo es, es decir,debe ser igual a uno de los factores del segundo producto.Entonces, debe existir un mínimo entero s con esa propiedad.Sean p1·…·pm y q1·…·qn dos factorizaciones distintas de s. Ningún pi (con 1 ≤ i ≤ m) puede ser igual a algún qj (con 1 ≤ j ≤ n), pues de lo contrario habría un número menor que s que se podría factorizar de dos maneras (obtenido al quitar factores comunes a ambos productos) contradiciendo la suposición anterior.Al multiplicar ambos lados por s / q1, resulta El segundo término de la última expresión debe ser igual a un entero (pues lo son también los otros términos), al que se llamará k; esto es, de donde se obtiene, El valor de los dos lados de esta ecuación es obviamente menor que s, pero sigue siendo lo bastante grande como para ser factorizable.Como r es menor que p1, las dos factorizaciones obtenidas en ambos lados después de haber escrito k y r como producto de primos deben ser diferentes.Zn es un grupo finito, por lo que tiene una serie de composición.Las dos monografías publicadas por Gauss sobre la reciprocidad bicuadrática tienen secciones numeradas consecutivamente: la primera contiene los §§ 1-23 y la segunda los §§ 24-76.These are in Gauss's Werke, Vol II, pp.