Teorema del factor

En álgebra, el teorema del factor sirve para encontrar los factores de un polinomio.

Es un caso especial del teorema del resto.

El teorema del factor establece que un polinomio

es una raíz de

, es decir que

Si se deseara encontrar los factores de

, se tantean las raíces de

para obtener los factores

Si el resultado de sustituir

en el polinomio es igual a 0 (es decir, si

es raíz), se sabe que

Teniendo en cuenta que los candidatos a raíces (racionales) de

por el teorema de la raíz racional, se va probando con ellos.

un factor de

Para saberlo, se sustituye

y se determina que

no es un factor de

Se prueba ahora con

de la misma forma; es decir, sustituyendo y comprobando si es

una raíz del polinomio:

es un factor porque -1 es una raíz de

Para hallar otros factores, basta con probar con todos los posibles candidatos a raíces o encontrar un factor e ir dividiendo el polinomio por el factor hallado para obtener nuevos polinomios de menor grado en cada iteración; en este caso, se construiría.

Una vez probados todos los candidatos a raíces, se concluiría que

no tiene factores racionales (es decir, no existen más factores de la forma

solo tiene un factor racional.

No obstante, por el teorema fundamental del álgebra, se sabe que

tiene dos factores más que serán, o ambos irracionales (

{\displaystyle k\in \mathbb {R} \backslash \mathbb {Q} }

), o ambos complejos no reales (

{\displaystyle k\in \mathbb {C} \backslash \mathbb {R} }