En teoría de la probabilidad, el teorema de la parada opcional (o teorema del muestreo opcional de Doob) afirma que, bajo ciertas condiciones, la esperanza de una martingala en un tiempo de parada es igual a su valor esperado inicial.
Dado que las martingalas pueden utilizarse para modelizar la riqueza de un apostador que participa en un juego justo, el teorema de la parada opcional dice que, en promedio, no puede obtenerse ninguna ganancia parando el juego en base a la información disponible hasta el momento (es decir, sin conocer el resultado futuro).
El teorema de la parada opcional es una importante herramienta en matemática financiera en el contexto del teorema fundamental de valoración de activos.
un espacio de probabilidad filtrado, donde
-martingala, y sea
-tiempo de parada.
Suponemos que se da una de las siguientes tres condiciones: Entonces
es una variable aleatoria casi seguramente bien definida, y
Análogamente, si el proceso estocástico
es una submartingala o una supermartingala, y una de las condiciones anteriores se cumple, entonces o respectivamente.
Bajo la condición (c), es posible que el suceso
tenga probabilidad estrictamente positiva.
En este suceso,
se define como el límite puntual de
, que existe casi seguramente por el teorema de convergencia de martingalas de Doob.