Mientras que el teorema de Ramsey facilita probar que toda sucesión infinita de números reales distintos contiene una subsucesión infinita monótonamente creciente o una subsucesión infinita monótonamente decreciente, el resultado que probaron Paul Erdős y George Szekeres va más allá.dados, probaron que cualquier sucesión de longitud al menoscontiene una subsucesión monótonamente creciente de longitudo una subsucesión monótonamente decreciente de longitudLa demostración está en el mismo artículo de 1935 que menciona el problema del final feliz.puntos se puede encontrar un camino poligonal de o bien), en cualquier conjunto de al menos n puntos se puede encontrar un camino poligonal de al menos, cualquier conjunto de al menos 17 puntos tiene un camino de cuatro aristas en el que todas las pendientes tienen el mismo signo.puntos sin un camino de este tipo, probando que este límite es fijo, aplicando una pequeña rotación a una red[2] Otras demostraciones revisadas por Steele incluyen la demostración original de Erdős y Szekeres, así como las de Blackwell (1971),[3]Hammersley (1972),[4] y Lovász (1979).[5] Dada una sucesión de longitud (r − 1)(s − 1) + 1, se etiqueta cada número ni en la sucesión con el par (ai,bi), donde ai es la longitud de la mayor subsucesión monótonamente creciente que termina en ni y bi es la longitud de la mayor subsucesión monótonamente decreciente que termina en ni.Cada par de números en la sucesión se etiqueta con un par diferente: si i < j y ni ≤ nj entonces ai < aj, y por otra parte si ni ≥ nj entonces bi < bj.Pero existen solo (r − 1)(s − 1) etiquetas posibles si ai es a lo sumo r − 1 y bi es a lo sumo s − 1, por lo que por el principio del palomar debe existir un valor de i para el que ai o bi esté fuera de este rango.Por el teorema de Mirsky, o bien existe una cadena de longitud r, o la sucesión se puede partir en como mucho r − 1 anticadenas; pero en ese caso la mayor de las anticadenas debe formar una subsucesión decreciente con longitud al menos Alternativamente, usando el propio teorema de Dilworth, o bien existe una anticadena de longitud s o la sucesión se puede partir en como mucho s − 1 cadenas, la mayor de las cuales debe tener longitud al menos r.
Un camino de cuatro aristas ascendentes en un conjunto de 17 puntos. Por el teorema de Erdős-Szekeres, todo conjunto de 17 puntos tiene un camino de esta longitud bien ascendente o bien descendente. El subconjunto de 16 puntos que no incluye el punto central no tiene ningún camino de este tipo.
