fue probado por Pierre Hohenberg, N. David Mermin and Herbert Wagner en física estadística.
Este teorema no se puede aplicar con simetrías discretas lo cual puede verse en el modelo de Ising en dos dimensiones.
en el espacio k. Al usar la ley de Gauss, se define el campo análogo como
En dos dimensiones, usando un anillo Gaussiano más grande: Tal que la función G tiene una divergencia logarítmica para r grande y pequeño.
Si se inicia en un punto donde el campo tiene valor 1, la divergencia nos dice que se está yendo lejos, el campo está arbitrariamente lejos del valor de inicio.
Un camino azaroso también se mueve arbitrariamente lejos de su punto de inicio, tal que un escalar en una o dos dimensiones no tiene un valor promedio bien definido.
, como pasa en el modelo del sombrero Mexicano donde el campo complejo
Main article: Transición de Kosterlitz–Thouless Otro ejemplo es el del modelo XY.
De hecho el modelo tiene dos fases: una fase desordenada convencional a alta temperatura, y una a baja temperatura con orden de pseudo largo alcance.
Consideremos el comportamiento a temperatura baja de este sistema y asumamos que existe un rompimiento instantáneo, esto es, una fase donde todos los spines apuntan en la misma dirección, a lo largo del eje x.
y expandimos en serie de Taylor el Hamiltonano resultante.
y pasando al límite continuo, dado que estamos interesados en la fase a baja temperatura donde las fluctuaciones onda larga dominan, tenemos Las fluctuaciones del campo
Para saber si esta fase hipotética existe necesitamos verificar si nuestras asunciones son autoconsistentes, esto es si el valor de expectación de la magnetización, calculado en este marco, es finito como se asumió.
Este es el procedimiento seguido en la derivación del criterio de Ginzburg.
El modelo es Gaussiano a primer orden y la función de correlación del espacio de momento es proporcional a
y la corrección a primer orden puede calculare fácilmente La integral anterior es proporcional a y es finita para d>2, pero es logarítmicamente divergente para
Este es el resultado general llamado teorema de Mermin–Wagner–Hohenberg: No hay fase con ruptura instantánea de simetría continua para T>0, en
[4]) Resultados mucho más fuertes que la ausencia de magnetización pueden ser probados, y la situación puede ser más general.
Interacciones de largo alcance pueden permitirse (si decaen suficientemente rápido).
Se ha probado que las interacciones del tipo núcleo duro pueden llevar en general a violaciones del teorema de Mermin–Wagner.
Hohenberg: "Existence of Long-Range Order in One and Two Dimensions", Phys.
Sidney Coleman: "There are no Goldstone bosons in two dimensions", Commun.
Axel Gelfert, Wolfgang Nolting: "The absence of finite-temperature phase transitions in low-dimensional many-body models: a survey and new results", J.
Pfister: "On the absence of spontaneous symmetry breaking and of crystalline ordering in two-dimensional systems", Comm.
Shucker: "On the absence of spontaneous breakdown of continuous symmetry for equilibrium states in two dimensions", J. Statist.
26, 505 (1981) (enlace roto disponible en Internet Archive; véase el historial, la primera versión y la última).
29, 159 (1982) (enlace roto disponible en Internet Archive; véase el historial, la primera versión y la última).
226, 433 (2002) (enlace roto disponible en Internet Archive; véase el historial, la primera versión y la última).
Richthammer: "Translation-invariance of two-dimensional Gibbsian point processes", Commun.
274, 81 (2007) (enlace roto disponible en Internet Archive; véase el historial, la primera versión y la última).