Teoría de la línea de sustentación de Prandtl
[1][2] La teoría se expresó de forma independiente[3] por Frederick W. Lanchester en 1907,[4] y por Ludwig Prandtl en 1918–1919[5] después de trabajar con Albert Betz y Max Munk.
[6][7] Es difícil predecir analíticamente la cantidad total de sustentación que generará un ala con una geometría determinada.
Cuando se analiza un ala finita tridimensional, la primera aproximación para su cálculo es considerar dividida el ala en secciones transversales y analizar cada sección transversal de forma independiente en modo bidimensional.
Cada uno de estos cortes se denomina perfil aerodinámico, y es más fácil entender un perfil aerodinámico que un ala tridimensional completa.
Se podría esperar que el cálculo del ala completa simplemente implique la suma de las fuerzas calculadas independientemente de cada perfil aerodinámico.
Sin embargo, esta aproximación es sumamente incorrecta: en un ala real, la sustentación sobre cada perfil del ala (sustentación local por unidad de envergadura,
) no se corresponde simplemente con lo que predice el análisis bidimensional.
En realidad, la cantidad local de sustentación en cada sección transversal no es independiente de las secciones vecinas del ala sino que se ve fuertemente afectada por ellas.
Este vórtice desprendido, cuya intensidad es la derivada (variación) de la distribución local de circulación del ala (desconocida),
, influye en el flujo a ambos lados del perfil alar.
Ahora, si se conoce el cambio en la distribución de la sustentación en una sección de sustentación determinada, es posible predecir cómo influye esa sección en la sustentación sobre sus vecinas: la velocidad vertical inducida (upwash o downwash,
En términos matemáticos, el cambio local inducido del ángulo de ataque
Esto conduce a una ecuación íntegro-diferencial en la forma de
Está basada en[8] Nomenclatura: Las siguientes son todas funciones de las secciones del ala a lo largo de su envergadura
Ya que la circulación de una sección está relacionada con el
por lo tanto, la fuerza del vórtice en cualquier estación de vano particular puede ser dada por las ecuaciones:
Sin embargo, la onda descendente es puramente una función de la circulación solamente.
, llevar este término al lado izquierdo de la ecuación y resolver.
Esto se determina integrando la influencia de cada vórtice diferencial sobre la envergadura del ala.
La ecuación integral sobre la envergadura del ala para determinar el flujo descendente en un lugar concreto es:
Cada fila de la forma matricial representa una sección diferente en el tramo, y cada columna representa un valor diferente para n. Las opciones apropiadas para
Nótese que este rango no incluye los valores de 0 y
La sustentación se puede determinar integrando los términos de circulación:
La resistencia inducida se puede determinar a partir de
Cuando la aeronave está rodando, se puede añadir un término adicional que suma la distancia de la estación del ala multiplicada por la tasa de rodamiento para dar un cambio adicional del ángulo de ataque.
[9] La resistencia inducida resultante para un ala con índice de rodadura es
donde Un cambio similar en la resistencia inducida también está presente cuando el ala está batiendo, y comprende la principal producción de empuje para las alas batientes.
Para controles no simétricos como los alerones, el término
Así se obtiene la famosa ecuación del coeficiente de arrastre inducido por la elipse:
[10][11] Una aproximación útil[cita requerida] es que donde El valor teórico para
