Las teorías Chern–Simons se pueden definir en cualquier 3-variedad topológica M, con o sin límite.
Estas se caracterizan por la afirmación de que la derivada covariante, que es la suma del operador derivada exterior d y la conexión A, se transforma en la representación adjunta del grupo de calibración G. El cuadrado de la derivada covariante con sí mismo puede ser interpretado como una 2-forma g-valuada F llamada la forma de curvatura o la intensidad de campo.
En cuanto a la curvatura de campo la ecuación de campo es, explícitamente Las ecuaciones clásicas del movimiento se cumplen por lo tanto, si la curvatura desaparece por todas partes, en cuyo caso la conexión se dice ser plana.
Después de dicha corte M será una variedad con límite y, en particular, clásicamente la dinámica de Σ se describirá por un modelo WZW.
Witten ha demostrado que esta correspondencia se mantiene en mecánica cuántica incluso.
Por ejemplo, cuando Σ es una 2-esfera, este espacio de Hilbert es unidimensional y así hay un solo estado.
En el caso especial en que M es una 3-esfera, Witten ha demostrado que estas funciones de correlación normalizadas son proporcionales al conocido polinomios de nudo.
Por ejemplo, en la teoría de la Chern–Simons G=U(N) a nivel k es la función de correlación normalizada, hasta una fase, igual a veces el polinomio HOMFLY.
Sir Michael Atiyah ha demostrado que existe una opción canónica de estructura, que se utiliza generalmente en la literatura actual y conduce a un número bien definido de enlace.
Edward Witten argumentó que el estado de Kodama en gravedad cuántica de bucles es no-física debido a una analogía con el estado de Chern–Simons, dando como resultado helicidad negativa y energía.
En 3D, esto da lugar a un fotón masivo, si este término se añade a la acción de la teoría electrodinámica de Maxwell.