Coordenadas homogéneas

Fueron introducidas por el matemático alemán August Ferdinand Möbius en el año 1837.

Su notación en forma matricial se emplea en bibliotecas de programación gráfica en 3D como OpenGL y Direct3D.

Las coordenadas en dos dimensiones se pueden encontrar más fácilmente si λ = 1, por simplificación.

[1]​[2]​ Una consecuencia de esta escritura es que un punto propio tiene infinitas formas de escribirlo, pues está determinado por una relación de equivalencia entre el punto en cuestión y aquellos otros contenidos en la recta que genera.

Esto implica la consideración de los puntos impropios, o del infinito.

Un punto impropio es aquel donde λ = 0, y está determinado por la dirección de una recta, contenida en el plano proyectivo.

[3]​ Así, si el punto impropio está determinado por una recta en la forma Ax - By = 0, sus coordenadas homogéneas se escriben

Si z = 0 el punto es impropio, y por lo tanto no existe una manera de definirlo en el plano euclídeo.

, las coordenadas homogéneas son una manera de referirse a sus puntos usando tuplas de escalares (salvo múltiplo por escalar no nulo).

Así, nos permiten trabajar con cualquier espacio proyectivo como si fuera, de hecho,

Así, estos vectores forman una base del espacio vectorial sobre el que se construye

Ahora, dado cualquier otro punto del espacio proyectivo, podemos tomar un representante suyo y encontrar sus coordenadas en esta base.

Sin embargo, estas coordenadas no están bien definidas, pues los elementos de la base son representantes de puntos y, como tales, no están unívocamente determinados.

Si se le piden las condiciones adecuadas (que sea proyectivamente independiente con cada otros

La construcción en detalle está explicada en el artículo Referencia proyectiva§Coordenadas homogéneas.