Coordenadas esféricas
El sistema de coordenadas esféricas[1] se basa en la misma idea que las coordenadas polares y se utiliza para determinar la posición espacial de un punto mediante una distancia y dos ángulos.
En consecuencia, un punto P queda representado por un conjunto de tres magnitudes: el radio
Se debe tener en cuenta qué convención utiliza un autor determinado.
La mayoría de los físicos, ingenieros y matemáticos no norteamericanos escriben: Esta es la convención que se sigue en este artículo.
En el sistema internacional, los rangos de variación de las tres coordenadas son: La coordenada radial es siempre positiva.
aumenta o disminuye en π radianes.
Actualmente, el convenio usado en los EE. UU.
y para referirse al polar, latitud o colatitud se usa
Sobre los conjuntos abiertos: Existe una correspondencia unívoca
entre las coordenadas cartesianas y las esféricas, definidas por las relaciones: Estas relaciones se hacen singulares cuando tratan de extenderse al propio eje
Además, φ no es continua en ningún punto
entre los dos mismos abiertos puede escribirse en términos de las relaciones inversas:
Como sistema intermedio entre las coordenadas cartesianas y las esféricas, está el de las coordenadas cilíndricas, que se relaciona con el de las esféricas por las relaciones y sus inversas Las líneas coordenadas son aquellas que se obtienen variando una de las coordenadas y manteniendo fijas las otras dos.
Para este sistema son: Las líneas y superficies coordenadas de este sistema son perpendiculares dos a dos en cada punto.
A partir del sistema de coordenadas esféricas puede definirse una base vectorial en cada punto del espacio, mediante los vectores tangentes a las líneas coordenadas.
Esta nueva base puede relacionarse con la base fundamental de las coordenadas cartesianas mediante las relaciones e inversamente En el cálculo de esta base se obtienen los factores de escala Disponiendo de la base de coordenadas esféricas se obtiene que la expresión del vector de posición en estas coordenadas es Nótese que no aparecen término en
La dependencia en estas coordenadas está oculta en el vector
Un desplazamiento infinitesimal, expresado en coordenadas esféricas, viene dado por La expresión general de un diferencial de superficie en coordenadas curvilíneas es complicada.
el resultado es y expresiones análogas para las otras dos superficies coordenadas.
En el caso particular de las coordenadas esféricas, los diferenciales de superficie son El volumen de un elemento en coordenadas curvilíneas equivale al determinante del jacobiano de la transformación, multiplicado por los tres diferenciales.
El jacobiano, a su vez, es igual al producto de los tres factores de escala, por lo que que para coordenadas esféricas en las que el ángulo vertical empieza en el eje z da y en las que el ángulo vertical empieza en el plano XY da El gradiente, la divergencia, el rotacional y el laplaciano poseen expresiones particulares en coordenadas esféricas.
