Después de jugar en el Breiðablik, Tindastóll y St.

Mary's High School en Canadá, Björnsson tuvo su primera gran temporada con el Skallagrímur la temporada 2014-15, con un promedio de 16,7 puntos y 5,0 asistencias, aunque el Skallagrímur acabó descendiendo a la 1. deild karla.

La temporada 2015-2016 ayudó al equipo a regresar a la Domino's deildin, tras promediar 21.0 puntos, 5.7 rebotes y 5.0 asistencias, siendo nombrado mejor jugador de la 1. deild karla.

[1]​ Continuó con su buen nivel durante la temporada 2016-17, promediando 18.0 puntos y 5.3 asistencias, siendo convocado por la selección de Islandia por primera vez en su carrera.

Pero una vez más fue incapaz de ayudar al Skallagrímur a evitar el descenso.