Rotaciones encadenadas de Davenport
[1] El sistema de coordenadas giratorio, que no es ortogonal, puede imaginarse como sólidamente unido a un cuerpo rígido.
En este caso, a veces se lo denomina sistema de coordenadas local.
Al ser los ejes de rotación solidarios con el cuerpo en movimiento, las rotaciones generalizadas se pueden dividir en dos grupos (aquí x, y y z se refieren al sistema de referencia móvil no ortogonal): La mayoría de los casos pertenecen al segundo grupo, siendo las rotaciones de Euler generalizadas un caso degenerado en el que los ejes primero y tercero se superponen.
[2] El problema general consiste en obtener la descomposición matricial de una rotación cualquiera dados tres ejes conocidos.
[3] Davenport demostró que se puede lograr descomponer cualquier orientación mediante la sucesión de tres rotaciones elementales utilizando ejes no ortogonales.
Por lo tanto, los ejes 1 y 3 deben estar en el plano ortogonal al eje 2.
Se dice que un conjunto de rotaciones de Davenport está completo si es suficiente para generar cualquier rotación del espacio por composición.
Hablando en términos matriciales, está completo si puede generar cualquier matriz ortonormal del espacio, cuyo determinante sea +1.
A veces el orden es impuesto por la geometría del problema subyacente.
Por ejemplo, cuando se usa para vehículos, que tienen un eje en particular que apunta a la dirección "hacia adelante", solo una de las seis combinaciones posibles de rotaciones es útil.
Para el caso general de una aeronave, que se puede desplazar libremente por el espacio tridimensional, la composición más interesante es la que puede determinar el rumbo y la elevación, con una rotación independiente para cada uno de ellos.
Existe una tercera rotación, el balanceo, que marca la inclinación del eje de las alas.
Una composición diferente, como RBE, permitiría establecer la dirección del eje de las alas, lo que obviamente no es útil en la mayoría de los casos.
Suponiendo un sistema de referencia fijo en el espacio
Después de realizar rotaciones intrínsecas R, E y B según los ejes de rumbo, elevación y balanceo (en este orden), se obtiene una situación similar a la mostrada en la Imagen 3.
En la situación de partida: Las rotaciones se aplican con el orden siguiente: rumbo (
Usando el del dibujo y combinando las rotaciones de manera que se repita un eje, solo balanceo-inclinación-balanceo permitirá controlar la longitud y la inclinación con una rotación cada una.
Las tres matrices a multiplicar son: En esta convención, Balanceo1 impone el "rumbo", la inclinación (complementaria de la elevación) determina la propia "inclinación" y Balanceo2 impone el "balanceo".
Por ejemplo, las rotaciones intrínsecas x-y'-z″ según los ángulos α, β, γ son equivalentes a las rotaciones extrínsecas z-y-x por los ángulos γ, β, α.
Ambos están representados por una matriz si se usa R para multiplicar previamente los vectores columna, y por una matriz si R se utiliza para multiplicar vectores fila posteriormente.
Por ejemplo, la orientación deseada se puede alcanzar de la siguiente manera: La notación mencionada anteriormente permite resumir este hecho de la siguiente manera: las tres rotaciones elementales del sistema XYZ se producen alrededor de z, x' y z".
De hecho, esta secuencia a menudo se denota z-x'-z″.
A veces, la misma secuencia se llama simplemente z-x-z, Z-X-Z o 3-1-3, pero esta notación puede ser ambigua, ya que puede ser idéntica a la utilizada para las rotaciones extrínsecas.
En este caso, es necesario especificar por separado si las rotaciones son intrínsecas o extrínsecas.
Por ejemplo, representa una composición de rotaciones intrínsecas sobre los ejes x-y’-z″, si se usa para multiplicar previamente los vectores columna, mientras que representa exactamente la misma composición cuando se utiliza para post-multiplicar vectores fila.
Por ejemplo, la orientación buscada se puede alcanzar de la siguiente manera: En resumen, las tres rotaciones elementales se producen alrededor de z, x y z. De hecho, esta secuencia a menudo se denota "z-x-z" (o 3-1-3).
Por ejemplo, representa una composición de rotaciones extrínsecas sobre los ejes x-y-z, si se utiliza para multiplicar por delante los vectores columna, mientras que representa exactamente la misma composición cuando se utiliza para multiplicar por detrás vectores fila.
Por ejemplo, las rotaciones intrínsecas x-y'-z″ por los ángulos α, β, γ son equivalentes a las rotaciones extrínsecas z-y-x por los ángulos γ, β, α.
Ambas están representadas por una matriz si se usa R para multiplicar previamente los vectores columna, y por una matriz si R se utiliza para multiplicar vectores fila por detrás.
La siguiente notación significa la matriz de rotación que transforma el marco a al cuadro b y que se representa en el cuadro c:
(Coordenadas intrínsecas o locales)
(Coordenadas extrínsecas o del espacio)
