Su padre era miembro de la Real Fuerza Aérea Británica, y debido a ello Rosemary vivió con su familia en la India durante su niñez.

Volvió a Inglaterra para su debut en The Seven Year Itch en el West End, que estuvo en cartelera un año en el Aldwich.

Conoció a Ellis Rabb quien tenía planes de comenzar su carrera como productor en Broadway.

En 1962 Harris regresó a Inglaterra al Chichester Festival Theatre de Laurence Olivier.

Participó como Leonor de Aquitania en El león en invierno, una actuación que le valió un Premio Tony en 1966.