Nacido en Yokohama, Japón, de padres británicos, Eddison fue conocido por su resonante voz de barítono, así como por su físico alto y delgado.

Interpretó obras de William Shakespeare y de otros clásicos, destacando sus actuaciones como Hamlet en el Old Vic, como Feste y Sir Andrew Aguecheek en Noche de reyes, y El rey Lear en el teatro neoyorquino.

También interpretó obras de Henrik Ibsen, Antón Chéjov y Sófocles, y fue Canon Chasuble en la pieza de Oscar Wilde La importancia de llamarse Ernesto.

Uno de sus trabajos para la televisión fue el que hizo en el episodio de la serie El Cuentacuentos "The Luck Child".

Robert Eddison falleció en Londres, Inglaterra, en 1991.