Recta de Simson

Estas rectas reciben su nombre en honor a Robert Simson (1687-1768) aunque los historiadores de matemáticas no han encontrado evidencia de su autoría.

Es decir, no sólo los pies de las perpendiculares trazados desde un punto en la circunferencia circunscrita son colineales, sino que estos puntos son los únicos que poseen dicha propiedad.

De acuerdo con el diagrama, sean ABC los lados del triángulo, X, Y, Z los pies de las perpendiculares respectivos sobre los lados CA, AB, BC y supongamos P en el arco AC de la circunferencia circunscrita.

De las dos últimas observaciones, dado que los ángulos ABX y ABC son iguales, se sigue que los ángulos XPZ y CPA son iguales.

Etiquetando los vértices del triángulo de modo que el punto se encuentre en el interior del ángulo ABC y el diagrama de las perpendiculares corresponda a la figura anterior, podemos repetir todos los pasos en orden inverso para concluir que PABC necesariamente es un cuadrilátero cíclico y por tanto que P está en la circunferencia circunscrita de ABC.

Esto es posible porque los dos resultados usados son equivalencias lógicas: A.I.