En matemáticas, y más específicamente en topología y análisis funcional, espacio pseudométrico es un concepto que generaliza el de espacio métrico, sustituyendo el concepto de distancia por el de pseudodistancia o pseudométrica, de tal forma que la pseudodistancia entre dos puntos distintos puede ser cero.
[1] Una pseudodistancia o, más generalmente, una familia de pseudodistancias determina en un conjunto una estructura uniforme.
Reciprocamente, toda estructura uniforme puede ser inducida por una familia de pseudodistancias.
En particular, una sola pseudodistancia es suficiente para determinar la estructura si y solo si existe un sistema fundamental de entornos numerable.
(denominada semidistancia o pseudométrica), con valores reales no negativos, tal que para todo
, De estas condiciones se deduce que la pseudodistancia no puede tomar valores negativos, ya que
Sin embargo, en general, no se requiere que los puntos sean distinguibles; es decir, puede darse
Utilizando pseudodistancias en lugar de distancias se pueden trasladar fácilmente a los espacios pseudométricos algunos conceptos definidos originalmente para espacios métricos, como el de acotación de conjuntos y funciones o el de continuidad uniforme.
puede definirse una distancia por medio de La topología pseudométrica es la topología inducida por las bolas abiertas que forman una base para la topología.
[2] Se dice que un espacio topológico es pseudometrizable si puede dotarse de una pseudodistancia tal que la topología pseudométrica coincide con la dada.
La diferencia entre pseudodistancias y distancias es esencialmente topológica.
Una pseudodistancia es una distancia si y solo si la topología que genera es de Kolmogorov (es decir, puntos diferentes son topológicamente distinguibles).
un conjunto dotado de una pseudodistancia
Se dice que dicha estructura está definida o determinada por la pseudodistancia
, determina una estructura uniforme que es el supremo de las estructuras definidas por cada una de ellas.
Es decir, la intersección de todas las estructuras uniformes definidas en dicho conjunto
que contengan todas las estructuras individuales.
un espacio uniforme en el que se puede identificar un sistema fundamental de entourages
Se puede demostrar la existencia de otro sistema fundamental de entourages simétricos
S∘S∘S representa un encadenamiento de entourages.
Para construir una pseudodistancia, partimos de la función
, definida por Esta función es simétrica y se anula en la diagonal, pero no cumple necesariamente la desigualdad triangular.
Para obtener el resultado deseado se utiliza el siguiente procedimiento.
mediante La estructura uniforme determinada por esta pseudodistancia es la estructura uniforme original.
Dada cualquier estructura uniforme en un conjunto
, es posible identificar una familia de pseudométricas que, a su vez, determine la estructura uniforme de partida.
[3] Se denomina identificación métrica a la relación de equivalencia definida por
[4] La identificación métrica preserva las topologías inducidas.
la proyección canónica que hace corresponder a cada punto de
la clase de equivalencia que lo contiene.