Al final de la introducción, Lakatos explica que su propósito es desafiar el formalismo en matemáticas, y para mostrar que las “matemáticas informales” crecen por una lógica de "pruebas y refutaciones".En la primera, Lakatos da ejemplos del proceso heurístico en el descubrimiento matemático.En el Apéndice I, Lakatos resume este método en las siguientes etapas: 1.- Conjetura Primitiva: propuesta inicial "ingenua".) 2.- La “prueba”: un experimento mental o argumento, en todo caso no sofisticado, que descompone la conjetura primitiva en subconjecturas.Lakatos continua a dar otras etapas que pueden, a veces, tener lugar: A) Examen de las demostraciones de otros teoremas para ver si el lema recién descubierto o el nuevo concepto generado por prueba se produce en ellos: este concepto puede ser encontrado en las encrucijadas de diferentes demostraciones, y por lo tanto aparece como de importancia fundamental.
