Polinomio de torre

No existe la posibilidad de que dos torres se encuentren en la misma fila o columna.En este sentido, una forma de colocarlas es situar las torres en una tabla estática e inmóvil.La configuración no será diferente mientras se mantengan las casillas fijas.El polinomio también permanece igual, aunque se cambien filas por columnas.El menor de m y n puede tomarse como el límite superior para k, ya que obviamente rk = 0 si k > min(m, n).Esto también se comprueba en la fórmula para Rm,n(x).El polinomio de torre de un tablero general B ⊆ Bm,n corresponde al gráfico bipartito con vértices a la izquierda v1, v2, ..., vm y vértices de la derecha w1, w2, ..., wn y un borde viwj siempre que la casilla (i, j) esté permitida, es decir, pertenece aB.Se deduce un hecho importante sobre los coeficientes rk, dado el número de colocaciones no atacantes de las k torres en B: estos números son unimodales, es decir, aumentan al máximo y luego disminuyen.La respuesta es: "Obviamente debe haber una torre en cada fila y en cada columna.Luego, quedan seis cuadrados para seleccionar la tercera fila, cinco en la cuarta, y así sucesivamente.Por lo tanto, el número de formas diferentes debe ser 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 3 × 2 × 1 = 40.320 (es decir, 8!, donde "!"1 se transformará en la secuencia (a,b,c,d,e,f,g,h).La nueva secuencia será (b,a,c,d,e,f,g,h).Si el obrero i es designado para el trabajo j, se coloca una torre en la casilla donde la fila i cruza la fila j. Puesto que cada trabajo es llevado a cabo por un solo trabajador y cada trabajador es designado para un solo trabajo, todos los archivos y filas contendrán solo una torre como resultado de la disposición de las n torres en el tablero, es decir, las torres no se atacan entre sí.El problema es: ¿De cuántas maneras se pueden colocar k torres en un tablero de m×n casillas de tal manera que no se ataquen entre sí?Está claro que para que el problema sea solucionable, k debe ser menor o igual al más pequeño de los números m y n; de lo contrario no se puede evitar colocar un par de torres en una misma fila.En primer lugar, se debe elegir el conjunto de filas k para colocar las torres.Ya se ha demostrado que en dicho tablero las k torres pueden ser dispuestas de k maneras (para que no se ataquen entre sí).que corresponde al resultado obtenido para el problema de las torres clásicas.El polinomio de la torre con coeficientes explícitos es ahora: Si se elimina la limitación "las torres no deben atacarse entre sí", se debe elegir cualquier casilla k de las m×n casillas.Esto se puede hacer en: Si las k torres difieren de alguna manera entre sí, por ejemplo, están etiquetadas o numeradas, todos los resultados obtenidos hasta ahora deben multiplicarse por k, el número de permutaciones de las k torres.Como una complicación adicional al problema de las torres, se puede requerir que las torres no solo no se ataquen entre sí, sino que también estén dispuestas simétricamente en el tablero.Dependiendo del tipo de simetría, esto equivale a girar o reflejar el tablero.Ahora, se hace que el tablero contenga 2n filas y 2n columnas.Según la condición de simetría, la colocación de esta torre define la colocación de la torre que se encuentra en la última fila, que debe ser colocada simétricamente a la primera torre respecto al centro del tablero.Está claro que a cada disposición simétrica de las torres en el nuevo tablero corresponde una disposición simétrica de las torres en el tablero original.Para tablas de tamaño impar (que contienen (2n+1) filas y (2n+1) columnas) siempre hay un cuadrado que no tiene su doble simétrico - este es el cuadrado central del tablero.Para el tablero de ajedrez tradicional (n = 2), existen 4 × 3 × 1 = 12 disposiciones posibles con simetría rotacional.En el segundo caso, para la torre original hay otra, simétrica a la primera sobre la diagonal elegida.Para tales problemas, Dudeney[10]​ observa que: El problema se reduce al de contar arreglos simétricos mediante el lema de Burnside.