El operador D'Alembertiano es la generalización del operador laplaciano a un espacio de Minkowski, o, más en general, a un espacio de dimensión y métrica arbitraria.
Se suele representar como
, o simplemente como
Técnicamente el D'Alembertiano de una función escalar es el operador de Laplace-Beltrami asociado a la métrica de dicho espacio, operando sobre dicha función.
Su definición es, por analogía con el operador nabla ordinario de
, el producto escalar del vector de derivadas parciales consigo mismo.
En una variedad (pseudo)riemanniana el operador nabla se define como:
g
μ ν
Esta forma manifiestamente covariante implica la invarianza de este operador frente a transformaciones de Lorentz; y representa la ecuación de onda electromagnética.
La métrica es la métrica plana
g
μ ν
μ ν
, y por tanto el D'Alambertiano es
μ ν
c
t
y
Se puede hacer que el operador D'Alembertiano sea también invariante frente a una transformación general de coordenadas si se define en relación con la derivada covariante:
μ ν
Un ejemplo de utilización del D'Alambertiano sería la ecuación de Klein-Gordon, que describe campos escalares de spin cero: