Propiedades de las operaciones binarias

En álgebra las operaciones binarias internas en el conjunto A, o bien las aplicaciones de A x A en A: son las de mayor interés, porque se utilizan tanto en los sistemas numéricos más abstractamente, relaciones binarias en los sistemas algebraicos.

Dado un conjunto A no vacío y definida una aplicación de

Pueden tener las siguientes propiedades: Dado un conjunto no vacío A, en el que se ha definido una ley de composición interna

tiene la propiedad conmutativa en A si se cumple: Para todo a, b de A, se cumple que el resultado de operar a con b es igual al de operar b con a, la operación es conmutativa.

Del mismo modo podemos decir que la ley de composición interna

Como ejemplo si en 3-E el espacio de vectores de tres componentes, decimos: se tiene con el producto vectorial

: y en general, para cualquier par de vectores a, b: Para los enteros , se ve que la sustracción es anticonmutativa, dado que: Sea A un conjunto no vacío y

una operación binaria en A, se dice que

es asociativa si, solo si: Para todo a, b, c de A se cumple que operando a con b y el resultado con c es igual a operar a con el resultado de operar b con c. También se puede decir que la operación

un valor c de A y con la operación

el valor d de A que representamos:

Pueden tener las siguientes propiedades: Dado un conjunto A no vacío en el que se han definidos dos operaciones internas, que expresaremos

Pues, al semigrupo multiplicativo no se exige la conmutatividad.

Si se tiene el conjunto A, no vacío, provisto de una operación binaria

, diremos que el elemento e es el elemento neutro por la derecha si: Se demuestra que si hay otro elemento neutro por la derecha e', tal que e'*a = a, e = e'; hecho que se conoce como unicidad del elemento neutro.

diremos que el elemento e es el elemento neutro por la izquierda si: Se demuestra que si hay otro elemento neutro por la izquierda e', tal que a*e' = a, e = e'; hecho que se conoce como unicidad del elemento neutro.

si es elemento neutro por la derecha y por la izquierda.

Sea A un conjunto no vacío y

una operación binaria: Diremos que el elemento

Sea A un conjunto no vacío y

es elemento involutivo si: Sea A un conjunto no vacío y

una operación binaria interna: Diremos que

es Elemento absorbente si: Se denomina así al elemento s de A, tal que para todo a de A se cumple que operado s con a es igual que operas a con s y el resultado es s. Sea A un conjunto con una operación binaria

: por lo que cabe la ecuación: Si: Si A admite elementos simétricos, se define: Agrupando: donde e es el elemento neutro: simplificando: La operación inversa sería

Sea A con la operación * si a*b =a*c implica que b=c, se dice que se ha simplificado a por la izquierda.