para dos enteros b ≥ 2 y n ≥ 1.
Un primo de Williams es un número de Williams que es primo.
[2] Los menores n ≥ 1 tales que (b−1)·bn − 1 es primo son: (se empieza con b = 2) A septiembre de 2018, el mayor número de Williams en base 3 conocido es 2×31360104−1.
para enteros b ≥ 2 y n ≥ 1, un primo de Williams de segunda especie es un número de Williams de segunda especie que es primo.
Los menores números n ≥ 1 tales que (b−1)·bn + 1 es primo son: (empezar con b = 2) A septiembre de 2018, el número primo de Williams de segunda especie en base 3 más grande conocido es 2×31175232+1.
para enteros b ≥ 2 y n ≥ 1, el número de Williams de la tercera especie en base 2 son exactamente los números de Thabit.
para enteros b ≥ 2 y n ≥ 1, un primo de Williams de cuarta especie es un número de Williams de cuarta especie que es primo.
Tales primos no existen para
Se conjetura que por cada b ≥ 2, hay infinitos primos de Williams de primera especie (los primos de Williams originales) en base b, infinitos primos de Williams de segunda especie en base b, e infinitos números primos de Williams de tercera especie en base b.
Además, si b no es = 1 mod 3, entonces hay infinitos primos de Williams de cuarta especie en base b.
Si se hace que n tome valores negativos y se elige el numerador de las fracciones, entonces se obtienen estos números: Números duales de Williams de primera especie en base b: números de la forma
con b ≥ 2 y n ≥ 1 (no existen cuando b = 1 módulo 3) A diferencia de los primos de Williams originales de cada especie, algunos primos de Williams duales grandes de cada especie son solo primos probables, ya que para estos primos N, ni N−1 ni N+1 pueden ser trivialmente escritos en forma de un producto.
(para los primos duales de Williams más pequeños de los tipos 1, 2 y 3 en base b, consúltese (sucesión A113516 en OEIS), (sucesión A076845 en OEIS) y (sucesión A178250 en OEIS)) Se conjetura que por cada b ≥ 2, hay infinitos primos de Williams duales de primera especie (los primos de Williams originales) en base b, infinitos primos de Williams duales de segunda especie en base b, e infinitos primos duales de Williams en base b de tercera especie.
Además, si b no es = 1 mod 3, entonces hay infinitos primos duales de Williams de cuarta especie en base b.