[1] Los números primos de Sophie Germain y los números primos seguros tienen aplicaciones en criptografía asimétrica y en pruebas de primalidad.
Se ha conjeturado que hay infinitos primos de Sophie Germain, pero sigue sin probarse.
Esto se deriva del hecho de que 3 es un residuo cuadrático mod q.
Combinando ambas formas mediante el mcm(6, 4) se determina que un primo seguro q > 7 también debe ser de la forma 12k - 1 o, de manera equivalente, q ≡ 11 (mod 12).
[16] Se ha conjeturado que hay infinitos números primos de Sophie Germain, pero esta proposición todavía no ha sido probada.
La forma de esta estimación se debe a Godfrey Harold Hardy y John Edensor Littlewood, quienes aplicaron una estimación similar a los primos gemelos.
Ampliando la conjetura de que existen infinitos números primos de Sophie Germain, también se ha conjeturado que existen cadenas de Cunningham arbitrariamente largas,[18] aunque se sabe que las cadenas infinitas son imposibles.
Los números primos seguros también son importantes en criptografía debido a su uso en técnicas basadas en logaritmos discretos como el cambio de clave de Diffie-Hellman.
[21] Por esta razón, los protocolos de generación de claves para estos métodos a menudo se basan en algoritmos eficientes para generar números primos fuertes, que a su vez se basan en la conjetura de que estos números primos tienen una densidad suficientemente alta.
[22] En el Modo Contador de Sophie Germain se propuso usar la aritmética en el cuerpo finito de orden igual al número primo de Sophie Germain 2128 + 12451, para contrarrestar las debilidades del Modo Galois/Contador usando el campo finito binario GF(2128).
Se muestra que una versión posterior del documento tiene una complejidad de tiempo O(log7.5n) que también se puede reducir a O(log6n) usando la conjetura.
El resultado es una secuencia de longitud q − 1 dígitos (incluidos los ceros iniciales).