Los modelos considerados por Leslie se limitaron a estructurar la población en grupos de edad.
Un modelo estructurado en clases de tamaño fue presentado al año siguiente por Michael B.Usher.
Una recurrencia inmediata da una fórmula explícita para el tamaño de la población:
Así, vemos que la población sigue una dinámica geométrica y aumenta cuando λ > 1.
El interés de los modelos matriciales es relajar esta hipótesis.
Al observar esta contribución aij, podemos escribir que la contribución total de la clase j a la clase i será unaij nj(t), donde nj(t)es el recuento de la clase j en el momento t (es decir, el número de personas que lo componen).
Por lo tanto, al conocer el vector de población inicial n(0), podemos deducir el tamaño de la población en cualquier momento t ∈ ℕ repitiendo un producto matricial.
Es esta suposición la que garantiza la linealidad del modelo y evita la aparición de un comportamiento caótico.
Una consecuencia de esto es que es imposible tener en cuenta las interacciones entre hombres y mujeres con estos modelos.
La mayoría de los modelos están basados en mujeres, pero también hay modelos sin sexo donde se tienen en cuenta a todos los individuos, independientemente de su sexo (relevante para las especies que se reproducen principalmente asexualmente).
Aunque está claro que en la práctica estas hipótesis nunca se verifican exactamente, los modelos matriciales siguen siendo útiles para hacer pronósticos a corto plazo y para obtener información sobre el estado actual de una población.
Concretamente, esto significa que el vector de población, n , se alineará con el vector w y luego se dilatará por un factor en cada paso de tiempo, independientemente de las condiciones iniciales, que solo intervienen en el factor v⋅ n (0).
La fórmula anterior da una interpretación biológica de los elementos específicos: A menos que la población inicial ya esté en su estructura estable (es decir, n (0) y w son colineales), el régimen asintótico está precedido por un período más o menos largo llamado régimen transitorio durante el que la dinámica de la población puede parecer irregular.
Como en el caso del régimen asintótico, el régimen transitorio puede estudiarse utilizando los elementos apropiados de la matriz de proyección; no obstante, se deben tener en cuenta todos los elementos apropiados, y no sólo los elementos dominantes.
Cuanto mayor sea el valor de ζ, más rápida será la convergencia al régimen asintótico.
Los intereses de este tipo de estudio son múltiples: por ejemplo, dado que las mediciones nunca son perfectas en la práctica, surge la cuestión de que si las incertidumbres sobre ciertos parámetros del modelo influirán más o menos en los resultados obtenidos (esto puede permitir identificar parámetros para los que se requiere alta precisión); Otro ejemplo es cómo responderá una población a una perturbación externa (caza, modificación del hábitat, cambio climático, etc).
Estos se pueden expresar de acuerdo con los elementos propios dominantes:
donde v y w son los vectores propios dominantes a la izquierda y a la derecha, respectivamente (que aquí no se ha elegido necesariamente de modo que v⋅w = 1).
Sin embargo, las sensibilidades a las entradas cero en la matriz generalmente no son cero (incluso pueden ser extremadamente altas), lo que no es necesariamente relevante dependiendo de la pregunta que surja.
Las elasticidades tienen varias propiedades, la más importante de las cuales es que son positivas y su suma es 1, lo que hace posible interpretarlas como "cantidades normalizadas" y facilita su comparación.
Como todos los modelos, los modelos de población matricial se basan en ciertos supuestos (consulte la sección Supuestos y límites) y sólo permiten cierto tipo de resultados Por lo tanto, no son adecuados para todas las situaciones.
La mayoría de los modelos sólo tienen en cuenta a las mujeres, pero no hay garantía de que esta opción sea siempre la más relevante (consulte la sección Modelos basados en mujeres ).
En particular: Esta es probablemente la pregunta más compleja e importante al construir un modelo matricial.
Aunque se observan tendencias generales (los modelos de categoría de tamaño generalmente son más adecuados para organismos como plantas o peces, mientras que los modelos de categoría de edad a menudo son más adecuados para organismos como mamíferos), aunque si bien es cierto que no hay una regla general.
Finalmente, cuando la variable de estructuración elegida es continua, queda por delimitar las categorías.
Pero, en el caso general, es una pregunta compleja, en particular debido a dos efectos opuestos: las categorías no deben ser demasiado grandes para tener una descripción detallada de la estructura de la población y para que los rasgos demográficos son homogéneos dentro de una categoría.
Pero tampoco deberían ser demasiado precisos para que en la práctica sea posible tener suficientes datos para estimar adecuadamente los rasgos demográficos de cada categoría experimentalmente.
En general, tenemos datos indirectos a partir de los que debemos estimar las contribuciones haciendo ciertos supuestos.
Este momento debe tenerse en cuenta cuando las contribuciones se calculan a partir de datos indirectos.
Por ejemplo, en un modelo previo a la reproducción, los individuos tienen un año de edad cuando se los observa por primera vez y, por lo tanto, sólo se tienen en cuenta los individuos que han sobrevivido a su primer año.