Método de las imágenes
La validez del método descansa en un corolario del teorema de unicidad, que establece que el potencial eléctrostático en un volumen V está únicamente determinado una vez que se establecen la densidad de carga y el valor del potencial electrostático sobre la frontera de la región.
especificada, el campo electrostático está unívocamente determinado si la carga total en cada conductor es dada.
sobre una placa conductora infinita, conectada a tierra (i.e.
Para simplificar este problema, podemos reemplazar la placa por una carga -q localizada en
Este arreglo produce el mismo campo eléctrostático en cualquier punto de la región
Esta situación es equivalente a la original, de manera que es posible calcular la fuerza sobre la carga real (en
[2] El potencial en cualquier punto del espacio, debido a estas dos cargas puntuales de carga +q en +a y -q en -a sobre el eje z, se expresa en coordenadas cilíndricas como
La densidad superficial de carga sobre la placa conductora conectada a tierra viene dada entonces por Además, la carga total inducida sobre la placa conductora será la integral de esta densidad superficial de carga sobre todo el plano conductor, y por lo tanto, La carga total inducida sobre el plano resulta ser simplemente –q.
Esto puede verse directametente como una consecuencia de la ley de Gauss, considerando que el campo dipolar decae como el cubo de la distancia a grandes distancias, y por lo tanto, el flujo total del campo a través de una superficie hemiesférica infinita se anula.
Como el campo electrostático satisface el principio de superposición, una placa conductora bajo múltiples cargas puntuales puede ser remplazada por las cargas imagen de cada una de las cargas individualmente, sin requererir mayores modificaciones.
con igual magnitud, rotado en torno al eje azimutal en π.
El dipolo experimenta entonces una fuerza en la dirección z, dada por:
En el interior del segundo dieléctrico, sin embargo, dicha carga no está presente.
no es exactamente la opuesta a la carga real:
Incluso, puede tener el mismo signo, si la carga se sitúa en el interior de un material con mayor constante dieléctrica (las regiones con mayor constante dieléctrica repelen a las cargas), lo que se sigue de la fórmula anterior.
El método de las imágenes puede ser aplicado también a una esfera.
Refiriéndonos a la figura, deseamos encontrar el potencial adentro de una esfera conductora de radio R conectada a tierra, centrada en el origen, debido a una carga fuera de la esfera en la posición
Se puede ver que el potencial en un punto especificado por un radio vector
debido sólo a ambas cargas está dado por la suma de las contribuciones de la carga real y la carga imagen: Multiplicando en la expresión de más a la derecha, se obtiene:
y puede verse que sobre la superficie de la esfera, (i.e.
Nótese que esta expresión NO es válida fuera de al esfera, ya que la carga imagen no existe en realidad, sino que "está ahí" representando a la densidad de carga inducida sobre la esfera por la carga interior en
Si asumimos por simplicidad (sin pérdida de generalidad) que la carga interior yace sobre el eje z, entonces la densidad de carga inducida será una función del ángulo polar θ, dada por: La carga total sobre la esfera puede encontrarse integrando esta densidad superficial sobre todos los ángulos: Nótese que el problema recíproco también se resuelve por este método.
Justo como antes, la carga imagen tendrá un valor de
A diferencia del primer caso, la integral será de valor -qR/p.
Consideremos ahora una esfera conductora, pero que ahora en vez de estar conectada a tierra se encuentra aislada, y posee una carga neta Q.
Como es una esfera conductora, esta carga neta se distribuirá sobre las interfases de manera que el potencial se mantenga constante.
Como la carga se localiza en la interfase, podemos escribir el potencial como la superposición de la solución del problema de la esfera conectada a tierra y la solución del problema con simetría esférica con
la suma algebraica del valor de las cargas imagen.
Para el problema exterior, este resultado puede interpretarse como la introducción de una nueva carga imagen
Notemos que entonces, el valor del potencial sobre la esfera queda determinado por la carga
