Límite (sucesión de conjuntos)

En teoría de conjuntos, se define límite de una sucesión de conjuntosal conjunto que incluye elementos de cada uno de los subconjuntoscomponentes de la sucesión.Es de utilidad en teoría de la medida, especialmente en espacios de probabilidad.una sucesión de conjuntos, se dice que dicha sucesión es monótona creciente, y se indica como, si para todo n, perteneciente al conjunto de los números naturales, se tiene que[3]​ De la misma manera, la sucesión de conjuntos es monónota decreciente y se indica como, si para todo n, perteneciente al conjunto de los números naturales, se tiene que[3]​ Haciendo uso de operadores de conjuntos (unión, intersección), en una sucesión monótona creciente con un número fijado n se tiene que:El límite de esta sucesión creciente se define de manera natural como:[2]​{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }A_{n}=\lim _{n\rightarrow \infty }\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}=\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}}es decir, como la unión de los infinitos conjuntos An de la sucesión.Una definición similar se sigue para una sucesión monótona decreciente.Fijado un n se tiene que:Y por tanto, el límite de esta sucesión decreciente se define como:[2]​{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }A_{n}=\lim _{n\rightarrow \infty }\bigcap _{i=1}^{n}A_{i}=\bigcap _{i=1}^{\infty }A_{i}}esto es, como la intersección de los conjuntos An de la sucesión.Cuando se cumplen estas condiciones, se dice que la sucesión de conjuntos tiene límite o que es convergente.[3]​ De manera más general y dada cualquier sucesión de conjuntos, pueden definirse los límites inferior y superior construyendo dos sucesiones monótonas creciente y decreciente respectivamente:[1]​ Sea una sucesión de conjuntos (An)n.lim infm = nlim supDe las definiciones anteriores se puede obtener la relación:lim inflim supEn el caso de que ambos límites coincidan, se toma este conjunto común como el límite de la sucesión An:lim inflim sup