Cosme se inició en equipos como el Gimnástica, Atlético Alicante, Marina o Celta Bos Repós en el histórico torneo alicantino Copa San Pedro.

En el equipo herculano permaneció seis temporadas todas ellas en Segunda división.

En la temporada 1947/48 fue víctima del acierto del goleador Pedro Bazán, que le endosó 9 goles en el encuentro Club Deportivo Málaga contra el Hércules que finalizó con el resultado de 9 a 2.

Tras quedar libre fichó por el Real Madrid por tres temporadas.

Tras su primera temporada en el Real Madrid, el club le facilitó su cesión al Celta de Vigo, pero ante la negativa del jugador de abandonar el equipo y de querer cumplir las tres temporadas firmadas, el secretario técnico Juan Antonio Ipiña lo relegó a ver los partidos desde la grada.