[1][2][3][4] Martin es el tercero de cinco hijos, nació en Rocky Mount, Virginia, localidad situada en las montañas Blue Ridge.
[2][3][4][5] Jesse debutó en Broadway en la obra Timón de Atenas, luego actuó en la satírica The Government Inspector junto a Lainie Kazan, pero fue durante su trabajo en el Moondance Diner, cuando conoció al dramaturgo Jonathan Larson, quien además fue colega suyo en el restaurante donde laboraba para solventar bien los gastos.
[6] En junio de 2012 Martin participó en Romeo y Julieta, hecha solo por una noche para celebrar el 50.º aniversario del Teatro Delacorte en Central Park.
Martin había hecho una audición años antes y logró un papel menor como un ladrón llamado Earl el hámster, aunque lo rechazó a la espera de un rol más importante.
[8] En enero de 2014 fue elegido para dar vida al detective Joe West y ser parte del elenco principal en The Flash.