Intersección de dos rectas
En la geometría euclidiana tridimensional, si dos líneas rectas no están en el mismo plano se llaman rectas que se cruzan y no tienen punto de intersección.
Si están en el mismo plano, hay tres posibilidades: si coinciden (no son rectas distintas) tienen un número infinito de puntos en común (es decir, todos los puntos de cualquiera de ellas); si son distintas pero tienen la misma pendiente, se dice que son paralelas y no tienen puntos en común; de lo contrario, tienen un único punto de intersección.
Para la forma algebraica de esta condición, véase rectas que se cruzan.
Primero se considera la intersección de dos rectas,
Cuando las dos rectas son paralelas o coincidentes, el denominador es cero: Si las rectas son casi paralelas, una solución informática puede encontrar problemas numéricos al calcular la solución descrita anteriormente: el reconocimiento de esta condición podría requerir una prueba aproximada en una aplicación práctica.
Se requiere una discusión cuidadosa de los casos especiales (rectas paralelas/coincidentes, intervalos superpuestos/no superpuestos).
del punto de intersección de dos rectas no verticales se pueden encontrar fácilmente usando las siguientes sustituciones y reordenamientos.
son las pendientes (gradientes) de las rectas y donde
En el punto donde las dos rectas se cruzan (si lo hacen), ambas coordenadas
, y entonces, Para encontrar la coordenada y, todo lo que se tiene que hacer es sustituir el valor de x en una de las dos ecuaciones, por ejemplo, en la primera: Por lo tanto, el punto de intersección es Obsérvese que si a = b, entonces las dos rectas son paralelas.
Si también c ≠ d, las dos rectas son diferentes y no hay intersección.
Se pueden convertir puntos 2D en coordenadas homogéneas definiéndolos como
Supóngase que se quiere encontrar la intersección de dos rectas infinitas en el espacio bidimensional, definidas como
Se pueden representar estas dos rectas en coordenadas lineales como
En dos dimensiones, más de dos rectas casi seguramente no se cruzan en un único punto.
, w es el vector de orden 2×1 (x, y)T, y el elemento i-ésimo del vector de columna b es bi.
El punto de intersección, si existe, viene dado por donde
(que tiene la forma mostrada porque A posee rango de columna completo).
Alternativamente, la solución se puede encontrar al resolver conjuntamente dos ecuaciones independientes.
El enfoque anterior se puede extender fácilmente a tres dimensiones.
Pero si existe una intersección, se puede encontrar de la siguiente manera.
Así, un conjunto de n rectas se puede representar mediante 2n ecuaciones en el espacio tridimensional, con el vector de coordenadas w = (x, y, z)T: donde ahora A es 2n× 3 y b es 2n×1.
Como antes, existe un punto de intersección único si y solo si A tiene rango de columna completo y la matriz aumentada [A | b] no lo tiene.
La intersección única, si existe, viene dada por En dos o más dimensiones, generalmente se puede encontrar un punto que sea el más cercano a dos o más rectas en términos de sus mínimos cuadrados.
En el caso bidimensional, primero, se representa la recta i como un punto
Teniendo en cuenta que la distancia desde un punto x a la recta
viene dada por entonces el cuadrado de la distancia desde un punto x a una recta, es La suma de los cuadrados de las distancias para muchas rectas es la denominada función de pérdida: Esto puede reorganizarse de la forma siguiente: Para encontrar el mínimo, se deriva con respecto a x y se establece el resultado igual al vector cero: así que y entonces Aunque
no está bien definido en más de dos dimensiones, esto se puede generalizar a cualquier cantidad de dimensiones al observar que
es simplemente la matriz (simétrica) con todos los autovalores unidad, excepto por un valor propio cero en la dirección a lo largo de la recta que proporciona una norma sobre la distancia entre
y otro punto dando su distancia a la recta.
