Nacido en Detroit, Míchigan, Cohen empezó a los 12 años de edad su carrera en el mundo del espectáculo como recadero y, más adelante, acomodador del Teatro Dexter de Detroit.
), Bela Lugosi Meets a Brooklyn Gorilla y Kid Monk Baroni (título en el que actuaba Leonard Nimoy, entonces con 21 años).
Tras dicho éxito Cohen escribió y produjo otros títulos de terror adolescente, como fueron I Was a Teenage Frankenstein, How to Make a Monster, y Blood of Dracula.
Cohen también actuó de manera ocasional en sus propios filmes, usualmente como extra sin créditos.
En 1961 volvió a sus raíces en Detroit adquiriendo el Teatro Fox en el que había trabajado en su juventud.