Elizondo nació en Tampico, Tamaulipas en 1941 donde estudió en el Instituto Tecnológico Regional de Ciudad Madero y posteriormente emigró a Ciudad Juárez en donde fue presidente del Centro Empresarial de Ciudad Juárez en 1985 y del Comité Directivo Municipal del Partido Acción Nacional entre ese año y 1987.
[1] En 1986 fue candidato del PAN a la presidencia municipal de Ciudad Juárez para las elecciones de ese año en las que finalmente resultó perdedor ante el candidato del Partido Revolucionario Institucional Jaime Bermúdez Cuarón, a quien su partido acusaría posteriormente de fraude electoral.
[1] En 1988 fue candidato del PAN a senador por Chihuahua por segunda fórmula junto a Blanca Magrassi Scagno resultando perdedores frente a la fórmula de Saúl González Herrera y Alonso Aguirre Ramos, candidatos del PRI.
[1][3] En ese mismo año fue nombrado por el gobernador Francisco Barrio Terrazas como representante del gobierno del estado en Ciudad Juárez cargo al que renunció a principios de 1998.
[3] En 1998 volvió a buscar ser candidato del PAN a la presidencia municipal para las elecciones de ese año, logrando la candidatura y resultando elegido presidente municipal para el periodo 1998-2001 después de vencer al candidato del PRI Eleno Villalba Salas.