El grupo especial ortogonal (o grupo ortonormal especial), abreviado usualmente
, es un grupo de Lie que puede ser representado como un subgrupo del grupo ortogonal
El grupo real SO(n) se puede identificar con el grupo de rotaciones del espacio
El grupo especial ortogonal ordinariamente se toma como real, es decir,
aunque también se han definido generalizaciones complejas
El grupo especial ortogonal real, puede identificarse con el grupo de rotaciones del plano euclídeo.
Y por tanto se trata de un grupo de Lie unidimensional.
Existen varias representaciones de este grupo:
Este grupo es isomorfo al grupo de rotaciones del espacio euclídeo tridimensional y es representable por el conjunto de matrices ortogonales de 3x3 y con determinante igual la unidad.
i α + j β + k γ
i α + j β + k γ
Siendo α, β y γ números reales.
Este grupo resulta ser isomorfo al grupo multiplicativo de los complejos
Topológicamente pueden ser representados por el plano complejo al que se le ha quitado el punto de origen (z = 0) y por tanto es un grupo conexo aunque no simplemente conexo.
Estos grupos constituyen una generalización de los grupos SO(n) reales, algunos de los cuales resultan útiles en física por ejemplo el grupo SO(3,1) puede identificarse con un subgrupo del grupo de Lorentz especial que aparece en la teoría de la relatividad especial.
Una propiedad interesante es de los grupos SO(p,q) generales es que no son conexos, por ejemplo el grupo de SO(3,1) incluye dos componentes SO+(3,1), formado por todas las transformaciones de Lorentz que no incluyen inversiones temporales o espaciales, y SO-(3,1) formado por transformaciones de Lorentz que incluyen inversión temporal y espacial simultáneas (sólo el primero de ellos es un subgrupo de SO(3,1)).
Se tiene la siguiente cadena de inclusiones:
o r e n t z