En matemáticas, la geometría diferencial de hipersuperficies propone definiciones y métodos para analizar la geometría de hipersuperficies o variedades diferenciales de n dimensiones inmersas en una variedad riemanniana o el espacio euclídeo.
Aquí se tratará de las superficies en
, dotado de una métrica euclídea, es decir
Puesto que una superficie en
es una variedad diferenciable de dimensión n, en un entorno V de una superficie las coordenadas de cualquier punto de V pueden escribirse en función de dos parámetros:
En general una hipersuperficie puede representarse de forma no paramétrica mediante la ecuación:
Que si f es suficientemente regular es equivalente localmente a las ecuaciones paramétricas anteriores.
y un punto
se define como el único hiperplano de
que contiene al punto
y (localmente) y la aproxima hasta términos de primer orden.
La ecuación analítica de este hiperplano puede expresarse con ayuda de la ecuación paramétrica de la hipersuperificie:
{\displaystyle \Pi _{S,P_{0}}=\left\{\mathbf {x} =(x^{1},\dots ,x^{n})\in \ {\mathbb {R}}|\mathbf {x} =\mathbf {x} (u_{0}^{1},\dots ,u_{0}^{n})+\sum _{i}\alpha _{i}{\frac {\partial \mathbf {x} (u_{0}^{1},\dots ,u_{0}^{n})}{\partial u^{i}}},\alpha _{i}\in \mathbb {R} \right\}}
Más sencillamente el hiperplano anterior puede escribirse como el conjunto
que satisface la siguiente ecuación:
Aquí, se ha usado la simplificación de notación
{\displaystyle {x'}_{j}^{i}={\frac {\partial x^{i}}{\partial u^{j}}}}
Un vector director del hiperplano tangente es un vector normal a la hipersuperficie, usualmente existen dos elecciones posibles para un vector normal unitario (ambas relacionadas por un cambio de signo).
Si se expresa la hipersuperificie mediante la superficie
, el vector unitario normal se calcula simplemente como:
La primera forma fundamental I es la métrica inducida por la métrica euclídea en la hipersuperficie.
Dicha métrica es un tensor 2-covariante, simétrico y definido sobre el espacio tangente a cada punto de la hipersuperficie H. De hecho (H, I) constituye una variedad de Riemann con tensor métrico I.
La primera forma fundamental permite estimar longitudes sobre la hipersuperficie y ángulos de intersección entre curvas.
Las componentes de la primera forma fundamental suelen designarse por
La forma cuadrática anterior es positiva, lo que implica que
det ( g ) > 0
La primera forma anterior puede escribirse como una combinación lineal de productos tensoriales de las 1-formas coordenadas
{\displaystyle I(u^{k})=g_{ij}(u^{k})\ du^{i}\otimes du^{j}}
Estas pueden calcularse explícitamente a partir de la parametrización:
{\displaystyle g_{ij}(u^{k})={\frac {\partial \mathbf {x} '}{\partial u^{i}}}\cdot {\frac {\partial \mathbf {x} '}{\partial u^{j}}}=\mathbf {x} '_{i}\cdot \mathbf {x} '_{j}}