Función Z

En matemática, la función Z es una función usada para el estudio de la función zeta de Riemann a lo largo de la recta crítica, donde la parte real del argumento es 1/2.

De hecho, se puede observar que la función theta de Riemann-Siegel y la función zeta de Riemann son ambas holomorfas en la recta crítica, y donde la parte imaginaria de t está comprendida entre -1/2 y 1/2, la función Z es holomorfa en el rango crítico también.

Esa fórmula nos dice que donde el error

tiene una expresión compleja asintótica en término de la función y sus derivadas.

, entonces donde los puntos suspensivos indican que se puede continuar añadiendo términos adicionales más complejos con derivadas de mayor orden.

Se conocen más series eficientes de la función

, en particular varias que usan la función gamma incompleta.

Por tanto, el número de ceros en un intervalo dado crece lentamente a medida que movemos el intervalo a mayores valores del eje real.

Si la hipótesis de Riemann es cierta, todos los ceros aparecen en la línea crítica (por tanto son ceros reales) y la constante c es igual a 1.

Debido a los ceros de la función Z, esta exhibe un comportamiento oscilatorio.

También crece lentamente su promedio y su valor máximo.

, para valores altos de t, se comporta asintóticamente como una constante Ω mutiplicada por la función de t dada.

El crecimiento medio de la función Z también ha sido estudiado.

Esta estimación puede mejorarse con Si incrementamos el exponente, se ve que el valor medio depende más de los valores pico de

A esta congetura se le denomina la hipótesis de Lindelöf, y es más débil que la hipótesis de Riemann.

La mejor cota al ratio de crecimiento no es muy fuerte, actualmente se sabe que

Littlewood demostró que, asumiendo hipótesis de Riemann, un resultado mucho más razonable.