Fórmula de Viète

En matemáticas, la fórmula de Viète, es una fórmula debida a François Viète, que proporciona una representación del número π como un producto infinito

2 π

La expresión anterior tiene especial relevancia por ser el primer ejemplo conocido de una expresión exacta precisa del número π, a diferencia de las aproximaciones racionales manejadas en la antigüedad.

Aunque la fórmula anterior proporciona la primera expresión analítica para π, se obtiene mediante la aplicación de identidades trigonométricas a un razonamiento geométrico relacionado con el problema de la cuadratura del círculo El proceso consiste en inscribir, en un círculo de radio 1, polígonos regulares de

{\displaystyle 2^{n}}

lados de modo que la sucesión de las áreas resulta una aproximación sucesiva al área del círculo, igual a π.

{\displaystyle a_{n}}

es el área del polígono inscrito de 2n lados entonces

n − 1

sen ⁡

{\displaystyle a_{n}=2^{n-1}\operatorname {sen} \left({\tfrac {\pi }{2^{n-1}}}\right)}

Por otro lado, la fórmula de seno de ángulo doble establece que

sen ⁡ ( 2 θ ) = 2 sen ⁡ θ cos ⁡ θ

{\displaystyle \operatorname {sen}(2\theta )=2\operatorname {sen} \theta \cos \theta }

y por tanto

sen ⁡

{\displaystyle \operatorname {sen} \left({\tfrac {\pi }{2^{n-1}}}\right)=2\operatorname {sen} \left({\tfrac {\pi }{2^{n}}}\right)\cos \left({\tfrac {\pi }{2^{n}}}\right)}

Combinando ambos resultados se llega a las fórmulas:

Y como los valores de

(las áreas de los polígonos) se aproximan al área del círculo que vale π, se tiene

El área de

es el área de un cuadrado inscrito en un círculo de radio 1, por lo que

Así, se obtiene

Finalmente, la fórmula del ángulo doble para el coseno implica

1 + cos ⁡ θ

cos ⁡ θ

se cumple

la sustitución repetida en la expresión para

concluye la prueba.

Sin embargo, aunque la prueba anterior es geométricamente intuitiva, una demostración rigurosa involucra demostrar la convergencia de los productos infinitos, herramienta matemática que no se disponía durante la época de Viète por lo que no fue sino más de un siglo después cuando Euler proporcionó una prueba formal.