Esequiel Barco dio sus primeros pasos en las categorías infantiles de un club ubicado en la ciudad de Pueblo Esther, Santa Fe, llamado CAJU (Club Atlético Juventud Unida).
[3] En sus primeros días con el plantel superior disputó un partido como titular ante Defensor Sporting de Uruguay.
En el partido contra Lanús por la fecha 30 del Campeonato de Primera División 2016-17 dónde el rojo tenía que ganar para clasificar a la Libertadores del año siguiente, empató 1 a 1 y se quedó afuera, Barco malogró un penal.
Al mes siguiente, se consagró campeón del Campeonato de Primera División 2023, con doce goles marcados.
[6] A partir de sus buenos rendimientos en Independiente, en enero de 2017, Claudio Úbeda lo convocó para formar parte del plantel que disputó el Sudamericano Sub-20 que fue realizado en Ecuador, llevando la camiseta con el número 10.