Su padre falleció cuando Enrique era aún un niño pequeño, siendo criado prácticamente por su madre.

En 1914 obtiene su título de Profesor en Medicina, con la tesis "Los métodos operatorios para la exclusión del píloro".

El hospital había sido creado a iniciativa del embajador argentino en Francia, Marcelo Torcuato de Alvear, para asistir a los heridos de la I Guerra Mundial.

Regresa a la Argentina en 1919, afectado por una enfermedad contraída en Europa (presuntamente sífilis) que, conforme a la moral de la época, lo haría permanecer soltero el resto de su vida.

Al retornar a su país, Finochietto realiza varias cirugías torácicas de alta complejidad, incluyendo la primera incisión paradojal, una técnica que él había inventado y denominado así porque la incisión se realizaba en sentido inverso al establecido por los métodos de la cirugía clásica.

Inventó el frontolux, un sistema inspirado en las lámparas de los mineros que, ceñido a la frente del cirujano, permite iluminar el campo operatorio puntual a la visión del cirujano; el "empuja ligaduras", para detener las hemorragias; el porta-agujas, en diversas medidas y formatos; la pinza Doble utilidad, usada para hemostasia y como pasahilos; el aspirador quirúrgico para limpiar la sangre del campo operatorio; las "valvas de Finochietto", para separar órganos; la cánula para transfusiones; la mesa quirúrgica móvil, manejada con pedales e impulsada por motor eléctrico, que permite colocar al paciente en cualquier posición para facilitar la operación; el banco para cirujanos, que permite operar sentado; y el separador intercostal a cremallera para operaciones de tórax, conocido universalmente como "separador Finochietto"