En el espacio euclidiano, la desigualdad isoperimétrica dice que de todos los cuerpos con el mismo volumen, la pelota tiene el área superficial más pequeña.
En otras variedades suele ser muy difícil encontrar el cuerpo preciso minimizando el área superficial, y de eso no se trata la dimensión isoperimétrica.
Decimos acerca de una variedad diferenciable M que satisface una desigualdad isoperimétrica d-dimensional si para cualquier conjunto abierto D en M con una frontera suave se tiene Las notaciones vol y área se refieren a las nociones regulares de volumen y superficie del área en la variedad, o más precisamente, si la variedad tiene n dimensiones topológicas, entonces vol se refiere al volumen de n dimensiones y el área se refiere a ( n − 1)-volumen dimensional.
En la encuesta de Fan Chung se da una explicación precisa.
Para todo subconjunto A del gráfico G se define
con un vecino en un Una desigualdad isoperimétrica d -dimensional ahora se define por (Esta pregunta de MathOverflow proporciona más detalles.)
La dimensión isoperimétrica de una cuadrícula de d-dimensión es d. En general, la dimensión isoperimétrica es resguardada por las cuasi isometrías, tanto por las cuasi isometrías entre variedades, entre gráficas, como también por las cuasi isometrías que llevan las variedades a las gráficas, con las respectivas definiciones.
Ambas propiedades (crecimiento exponencial y dimensión isoperimétrica 0) son fáciles de verificar.
El resultado dice Teorema de Varopoulos: si G es un gráfico que satisface a una desigualdad isoperimétrica d-dimensional, entonces donde
es la probabilidad de que una caminata aleatoria en G comenzando desde x esté en y después de n pasos, y C es una constante.