En análisis matemático, la diferencial total de una función real de diversas variables reales corresponde a una combinación lineal de diferenciales cuyos componentes (coeficientes) son los del gradiente de la función.
Formalmente el diferencial total de una función es una 1-forma o forma pfaffiana y puede ser tratada rigurosamente como un elemento de un espacio vectorial de dimensión n, donde n es el número de variables dependientes de la función.
una función diferenciable entonces el diferencial total de z es: En cálculo vectorial, la diferencial total de una función
se puede representar de la siguiente manera: donde f es una función
( x , y , z )
{\displaystyle (x,y,z)}
que dependen de otras variables
En ese caso, se puede derivar la función respecto a t, y se obtiene que: donde x' es la derivada respecto a t de x,
al igual que y', z'.
Se vuelve necesaria distinguir la notación de derivada total de la parcial cuando se deriva una función del tipo
f ( t , x ,
que es fundamental para el cálculo de variaciones, donde aquí la variable x depende del tiempo
Entonces derivar respecto al tiempo queda Una función sencilla: Un ejemplo más complejo e ilustrativo: Dadas
continuas en algún subconjunto de A ∩ B, si se supone a este último no vacío.
{\displaystyle P(x,y)\,\mathrm {d} x+Q(x,y)\,\mathrm {d} y=0}
se llama ecuación en diferenciales totales.
[1] Puede demostrarse que el primer miembro de esta ecuación es una diferencial total si y solo si
{\displaystyle {\frac {\partial P}{\partial y}}={\frac {\partial Q}{\partial x}}.}
Estas ecuaciones también se llaman ecuación diferencial exacta.