Sea un sistema bidimensional de partículas no interactuantes con carga q y espín S confinado a un área A = LxLy en el plano x-y; en presencia de un campo magnético uniforme
Sin embargo las propiedades físicas no se ven influenciadas por la elección del gauge.
Para simplificar los cálculos, elegimos el gauge de Landau, que es donde B=|B| y x̂ es la componente x del operador posición.
conmuta con este Hamiltoniano, ya que el operador ŷ está ausente debido a la elección del gauge.
El Hamiltoniano puede ser escrito más simplemente notando que la frecuencia de ciclotrón es ωc = qB/mc, dando Este es exactamente el Hamiltoniano para el oscilador armónico cuántico, excepto que con el mínimo de potencial desplazado en el espacio por x0 = ħky/mωc.
desplazados una cantidad x0 en la dirección x: En definitiva, el estado del electrón está caracterizado por dos números cuánticos, n and ky.
Cada nivel de Landau está degenerado debido al segundo número cuántico ky.
Si se asumen condiciones periódicas de contorno, ky puede tomar valores donde N es un entero.
Estrictamente hablando, la solución estándar del oscilador armónico es sólo válida para sistema no delimitados en la dirección x (tiras infinitas).
De todas formas, por la simetría del sistema, ninguna magnitud física distingue entre estas coordenadas.
Los mismos resultados podrían haber sido obtenidos mediante un intercambio apropiado de x e y.
Si los electrones son libres de moverse en la dirección z, la función de onda adquiere un factor adicional exp(ikzz); la energía correspondiente a este movimiento libre, (ħ kz)2/(2m), es agregada a la E discutida.
De todas formas, el movimiento en el plano x-y, perpendicular al campo magnético, queda cuantizado.