Cuantización de Landau

Sea un sistema bidimensional de partículas no interactuantes con carga q y espín S confinado a un área A = LxLy en el plano x-y; en presencia de un campo magnético uniformeSin embargo las propiedades físicas no se ven influenciadas por la elección del gauge.Para simplificar los cálculos, elegimos el gauge de Landau, que es donde B=|B| y x̂ es la componente x del operador posición.conmuta con este Hamiltoniano, ya que el operador ŷ está ausente debido a la elección del gauge.El Hamiltoniano puede ser escrito más simplemente notando que la frecuencia de ciclotrón es ωc = qB/mc, dando Este es exactamente el Hamiltoniano para el oscilador armónico cuántico, excepto que con el mínimo de potencial desplazado en el espacio por x0 = ħky/mωc.desplazados una cantidad x0 en la dirección x: En definitiva, el estado del electrón está caracterizado por dos números cuánticos, n and ky.Cada nivel de Landau está degenerado debido al segundo número cuántico ky.Si se asumen condiciones periódicas de contorno, ky puede tomar valores donde N es un entero.Estrictamente hablando, la solución estándar del oscilador armónico es sólo válida para sistema no delimitados en la dirección x (tiras infinitas).De todas formas, por la simetría del sistema, ninguna magnitud física distingue entre estas coordenadas.Los mismos resultados podrían haber sido obtenidos mediante un intercambio apropiado de x e y.Si los electrones son libres de moverse en la dirección z, la función de onda adquiere un factor adicional exp(ikzz); la energía correspondiente a este movimiento libre, (ħ kz)2/(2m), es agregada a la E discutida.De todas formas, el movimiento en el plano x-y, perpendicular al campo magnético, queda cuantizado.