El criterio de Carathéodory es un resultado de la teoría de la medida que fue formulado por el matemático griego Constantin Carathéodory que caracteriza cuándo un conjunto es medible según Lebesgue.
Criterio de Carathéodory: Sea
{\displaystyle \lambda ^{*}:{\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n})\to [0,\infty ]}
denota la medida exterior de Lebesgue en
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}
{\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n})}
denota el conjunto de potencias de
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}
{\displaystyle M\subseteq \mathbb {R} ^{n}.}
es Lebesgue mensurable si y sólo si
{\displaystyle \lambda ^{*}(S)=\lambda ^{*}(S\cap M)+\lambda ^{*}\left(S\cap M^{c}\right)}
{\displaystyle S\subseteq \mathbb {R} ^{n},}
denota el complemento de
Darse cuenta de
No es necesario que sea un conjunto medible.
[1] El criterio de Carathéodory es de considerable importancia porque, en contraste con la formulación original de mensurabilidad de Lebesgue, que se basa en ciertas propiedades topológicas de
este criterio se generaliza fácilmente a una caracterización de la mensurabilidad en espacios abstractos.
De hecho, en la generalización a medidas abstractas, este teorema a veces se extiende a una definición de mensurabilidad.
[1] Así, tenemos la siguiente definición: Si
es una medida exterior en un conjunto
denota el conjunto de potencias de
{\displaystyle \mu ^{*}(S)=\mu ^{*}(S\cap M)+\mu ^{*}\left(S\cap M^{c}\right)}
se sostiene donde
la familia de todos
–los subconjuntos medibles son un σ-álgebra (así, por ejemplo, el complemento de un
–mensurables, y lo mismo ocurre con las intersecciones y uniones contables de
–conjuntos mensurables) y la restricción de la medida exterior