El coeficiente gaussiano binomial, escrito como es un polinomio en q con coeficientes enteros, cuyos valores cuando q es tomada como una potencia prima cuenta el número de subespacios de dimensión k en un espacio vectorial de dimensión n sobre un cuerpo finito con q elementos.
Los coeficientes binomiales gaussianos se define como:[1] donde m y r son enteros no negativos.
Para r = 0, el valor es 1 puesto que el numerador y el denominador son productos vacíos.
Aunque la fórmula en principio parecer ser una función racional, en realidad es un polinomio, puesto que la división es exacta en Z[q] Todos los factores en el numerador y el denominador son divisibles por 1 − q, y el cocientes es el q-número: Dividiendo estos factores da la fórmula equivalente En términos del q factorial
se obtiene el coeficiente binomial ordinario
El coeficiente binomial gaussiano tiene valores finitos como
: Como ocurre en el coeficientes binomiales ordinarios, los coeficientes binomiales gaussianos tienen simetría central, i.e., son invariantes bajo la reflexión
: en particular, La evaluación de un coeficiente binomial gaussiano cuando q = 1 es i.e.
la suma de los coeficientes da el corresponiente valor binomial.
, these ambos dan la identidad binomial usual.
El primer análogo de Pascal permite el cálculo recursivo de los coeficientes binomiales gaussianos (con respecto a m ) usando los valores iniciales y también muestra que los coeficientes binomiales de Gauss son de hecho polinomios (en q).
El segundo análogo de Pascal se sigue del primero usando la sustitución
En un proceso similar, usando en vez del anterior, se obtiene el segundo análogo.
Hay una análogo del teorema binomial para coeficientes q-binomiales: Al igual que el teorema del binomio habitual, esta fórmula tiene numerosas generalizaciones y extensiones; una de ellas, correspondiente al teorema binomial generalizado de Newton para potencias negativas, es En el límite